Question Number 108786 by 150505R last updated on 19/Aug/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Aug/20
![first we study the convergence A_n =∫_0 ^∞ x^(n−1 ) cos(ax)dx A_n =∫_0 ^1 x^(n−1) cos(ax)dx +∫_1 ^(+∞) x^(n−1) cos(ax)dx ∣x^(n−1) cos(ax)∣≤x^(n−1) and ∫_0 ^1 (dx/x^(1−n) ) converges ⇔1−n<1 ⇒n>0 letξ>0 lim_(x→+∞) x^ξ x^(n−1) cos(ax) =0 ⇒lim_(x→+∞) x^(ξ+n−1) cos(ax) =0 ⇒ξ +n−1<0 ∀ξ>0 ⇒n<1−ξ ∀ξ>0 ⇒0<n<1 (so n is not natural) A_n =Re(∫_0 ^∞ x^(n−1) e^(−iax) dx) and ∫_0 ^∞ x^(n−1) e^(−iax) dx =_(iax =t) ∫_0 ^∞ ((t/(ia)))^(n−1) e^(−t) (dt/(ia)) =(1/((ia)^n )) ∫_0 ^∞ t^(n−1) e^(−t) dt =(1/a^n )e^(−i((nπ)/2)) Γ(n) =((Γ(n))/a^n ){cos(((nπ)/2))−isin(((nπ)/2))} ⇒ A_n =((Γ(n))/a^n )cos(((nπ)/2)) with n ∈]0,1[](https://www.tinkutara.com/question/Q108824.png)
$$\mathrm{first}\:\mathrm{we}\:\mathrm{study}\:\mathrm{the}\:\mathrm{convergence}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}\:} \mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}\right)\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mid\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}\right)\mid\leqslant\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\:\mathrm{and}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{1}−\mathrm{n}} }\:\mathrm{converges}\:\Leftrightarrow\mathrm{1}−\mathrm{n}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{n}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{let}\xi>\mathrm{0}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{x}^{\xi} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}\right)\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{x}^{\xi+\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}\right)\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\xi\:+\mathrm{n}−\mathrm{1}<\mathrm{0}\:\:\forall\xi>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{n}<\mathrm{1}−\xi\:\:\forall\xi>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{0}<\mathrm{n}<\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{so}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{natural}\right) \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{Re}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{iax}} \mathrm{dx}\right)\:\mathrm{and}\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{iax}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=_{\mathrm{iax}\:=\mathrm{t}} \:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{ia}}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{ia}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{ia}\right)^{\mathrm{n}} }\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\mathrm{t}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{2}}} \:\:\Gamma\left(\mathrm{n}\right)\:=\frac{\Gamma\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} }\left\{\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{isin}\left(\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{2}}\right)\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\left.\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\frac{\Gamma\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} }\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{2}}\right)\:\:\:\mathrm{with}\:\mathrm{n}\:\in\right]\mathrm{0},\mathrm{1}\left[\right. \\ $$