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sin-8-x-dx-

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 15098 by tawa tawa last updated on 07/Jun/17
∫ sin^8 (x) dx
$$\int\:\mathrm{sin}^{\mathrm{8}} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 07/Jun/17
=∫(1−cos^2 x) sin^6 x dx =∫sin^6 x dx−∫cos^2 x sin^6 x dx =∫sin^6 x dx−∫cos x sin^6 x dsin x =∫sin^6 x dx−cos x sin^7 x−∫sin x(−sin^7 x+6sin^5 xcos^2 x)dx =∫sin^6 x dx−cos x sin^7 x+∫(−sin^8 x+6sin^6 xcos^2 x)dx =∫sin^6 x dx−cos x sin^7 x+∫(−7sin^8 x+6sin^6 x)dx =7∫sin^6 x dx−cos x sin^7 x−7∫sin^8 xdx 8∫sin^8 x dx=7∫sin^6 x dx−cos x sin^7 x ∫sin^8 x dx=(7/8)∫sin^6 x dx−(1/8)cos x sin^7 x ∫sin^6 x dx=(5/6)∫sin^4 x dx−(1/6)cos x sin^5 x ∫sin^4 x dx=(3/4)∫sin^2 x dx−(1/4)cos x sin^3 x ∫sin^2 x dx=(1/2)x−(1/2)cos x sin x ∫sin^4 x dx=(3/4)×(1/2)x−(3/4)×(1/2)cos x sin x−(1/4)cos x sin^3 x ∫sin^6 x dx=(5/6)×(3/4)×(1/2)x−(5/6)×(3/4)×(1/2)cos x sin x−(5/6)×(1/4)cos x sin^3 x−(1/6)cos x sin^5 x ∫sin^8 x dx=(7/8)×(5/6)×(3/4)×(1/2)x−(7/8)×(5/6)×(3/4)×(1/2)cos x sin x−(7/8)×(5/6)×(1/4)cos x sin^3 x−(7/8)×(1/6)cos x sin^5 x−(1/8)cos x sin^7 x ∫sin^8 x dx=((105)/(384))(x−cos x sin x)−((35)/(192))cos x sin^3 x−(7/(48))cos x sin^5 x−(1/8)cos x sin^7 x+C
$$=\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}\right)\:\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}−\int\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}−\int\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dsin}\:\mathrm{x} \\ $$$$=\int\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{7}} \:\mathrm{x}−\int\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\left(−\mathrm{sin}^{\mathrm{7}} \:\mathrm{x}+\mathrm{6sin}^{\mathrm{5}} \:\mathrm{xcos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{7}} \:\mathrm{x}+\int\left(−\mathrm{sin}^{\mathrm{8}} \:\mathrm{x}+\mathrm{6sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{xcos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{7}} \:\mathrm{x}+\int\left(−\mathrm{7sin}^{\mathrm{8}} \:\mathrm{x}+\mathrm{6sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{7}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{7}} \:\mathrm{x}−\mathrm{7}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{8}} \:\mathrm{xdx} \\ $$$$\mathrm{8}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{8}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}=\mathrm{7}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{7}} \:\mathrm{x} \\ $$$$\int\mathrm{sin}^{\mathrm{8}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{7}} \:\mathrm{x} \\ $$$$\int\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \:\mathrm{x} \\ $$$$\int\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{x} \\ $$$$\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$ \\ $$$$\int\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{x} \\ $$$$\int\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \:\mathrm{x} \\ $$$$\int\mathrm{sin}^{\mathrm{8}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}×\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}×\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}×\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{7}} \:\mathrm{x} \\ $$$$\int\mathrm{sin}^{\mathrm{8}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{105}}{\mathrm{384}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)−\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{192}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{48}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{7}} \:\mathrm{x}+\mathrm{C} \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 07/Jun/17
God bless you sir. now i understand better.
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{now}\:\mathrm{i}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{better}. \\ $$
Answered by arnabpapu550@gmail.com last updated on 12/Jun/17
=(1/2^4 )×∫{2sin^2 (x)}^4 dx =(1/(16))×∫{1−cos(2x)}^4 dx =(1/(16))×∫{1−4cos(2x)+6cos^2 (2x)−4cos^3 (2x)+cos^4 (2x)}dx =(1/(16))×[∫dx−4∫cos(2x)dx+6∫cos^2 (2x)dx−4∫cos^3 (2x)dx+∫cos^4 (2x)dx] =(1/(16))×[x−4((sin(2x))/2)+3×{∫dx+∫cos(4x)dx}−4×∫{1−sin^2 (2x)}cos(2x)dx+(1/4)×∫(1+cos(4x))^2 dx] =(1/(16))×[x−2sin(2x)+3x+(3/4)sin(4x)−4×(1/2){sin(2x)−((sin^3 (2x))/3)}+(1/4)×∫{1+2cos(4x)+cos^2 (4x)}dx] =(1/(16))×[4x−2sin(2x)+(3/4)sin(4x)−2sin(2x)+(2/3)sin^3 (2x)+{(x/4)+(1/8)sin(4x)+(1/8)×∫(1+cos(8x))dx}] =(1/(16))×[4x−4sin(2x)+(2/3)sin^3 (2x)+(x/4)+(7/8)sin(4x)+(x/8)+(1/(64))sin(8x)]+C =(1/(16))×[((35)/8)x−4sin(2x)+(2/3)sin^3 (2x)+(7/8)sin(4x)+(1/(64))sin(8x)]+C Where, C= integration constant.
$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{4}} }×\int\left\{\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right\}^{\mathrm{4}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}×\int\left\{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right\}^{\mathrm{4}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}×\int\left\{\mathrm{1}−\mathrm{4cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{6cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{4cos}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2x}\right)\right\}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}×\left[\int\mathrm{dx}−\mathrm{4}\int\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}+\mathrm{6}\int\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}−\mathrm{4}\int\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}+\int\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}×\left[\mathrm{x}−\mathrm{4}\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}+\mathrm{3}×\left\{\int\mathrm{dx}+\int\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\right\}−\mathrm{4}×\int\left\{\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\right\}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dx}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}×\left[\mathrm{x}−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{3x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)−\mathrm{4}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{3}}\right\}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\int\left\{\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\right\}\mathrm{dx}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}×\left[\mathrm{4x}−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2x}\right)+\left\{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}×\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)\right)\mathrm{dx}\right\}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}×\left[\mathrm{4x}−\mathrm{4sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{8x}\right)\right]+\mathrm{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}×\left[\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{8}}\mathrm{x}−\mathrm{4sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{8x}\right)\right]+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{Where},\:\mathrm{C}=\:\mathrm{integration}\:\mathrm{constant}. \\ $$

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