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Suppose-x-y-z-N-yz-x-is-prime-yz-x-zx-y-yz-x-xy-z-Find-all-possible-values-of-xy-z-zx-y-yz-x-2-

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Question Number 112004 by Aina Samuel Temidayo last updated on 05/Sep/20
Suppose x,y,z ∈N, (yz+x) is prime (yz+x)∣(zx+y), (yz+x)∣(xy+z). Find all possible values of (((xy+z)(zx+y))/((yz+x)^2 )).
$$\mathrm{Suppose}\:\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\:\in\mathbb{N},\:\left(\mathrm{yz}+\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{prime} \\ $$$$\left(\mathrm{yz}+\mathrm{x}\right)\mid\left(\mathrm{zx}+\mathrm{y}\right),\:\left(\mathrm{yz}+\mathrm{x}\right)\mid\left(\mathrm{xy}+\mathrm{z}\right). \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{all}\:\mathrm{possible}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\: \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{xy}+\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{zx}+\mathrm{y}\right)}{\left(\mathrm{yz}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }. \\ $$
Answered by A5T last updated on 15/Jul/25
(yz+x)∣zx+y+xy+z=(z+y)(x+1) yz+x is prime ⇒ yz+x∣z+y or yz+x∣x+1 Case I: yz+x∣z+y when y,z≥2 ,yz≥2y and yz≥2z ⇒2yz≥2(y+z)⇒yz≥y+z⇒yz+x>y+z since x≥1 ⇒One of y,z is 1, when y=1, z+x∣z+1 z+x≤z+1⇒x=1⇒(x,y,z)=(1,1,z) when z=1, y+x∣y+1⇒y+x≤y+1⇒x=1 ⇒(x,y,z)=(1,y,1) ⇒(((xy+z)(zx+y))/((yz+x)^2 ))=(((1+z)(z+1))/((z+1)^2 ))=1 or (((y+1)(1+y))/((y+1)^2 ))=1 Case II: yz+x∣x+1 ⇒yz+x≤x+1⇒yz≤1 ⇒(x,y,z)=(x,1,1)⇒(((xy+z)(zx+y))/((yz+x)^2 ))=(((x+1)(x+1))/((x+1)^2 ))=1 ⇒In all cases, we have (((xy+z)(zx+y))/((yz+x)^2 ))=1
$$\left(\mathrm{yz}+\mathrm{x}\right)\mid\mathrm{zx}+\mathrm{y}+\mathrm{xy}+\mathrm{z}=\left(\mathrm{z}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{yz}+\mathrm{x}\:\mathrm{is}\:\mathrm{prime}\:\Rightarrow\:\mathrm{yz}+\mathrm{x}\mid\mathrm{z}+\mathrm{y}\:\mathrm{or}\:\mathrm{yz}+\mathrm{x}\mid\mathrm{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{I}:\:\mathrm{yz}+\mathrm{x}\mid\mathrm{z}+\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{y},\mathrm{z}\geqslant\mathrm{2}\:,\mathrm{yz}\geqslant\mathrm{2y}\:\mathrm{and}\:\mathrm{yz}\geqslant\mathrm{2z} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2yz}\geqslant\mathrm{2}\left(\mathrm{y}+\mathrm{z}\right)\Rightarrow\mathrm{yz}\geqslant\mathrm{y}+\mathrm{z}\Rightarrow\mathrm{yz}+\mathrm{x}>\mathrm{y}+\mathrm{z}\:\mathrm{since}\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{One}\:\mathrm{of}\:\mathrm{y},\mathrm{z}\:\mathrm{is}\:\mathrm{1},\:\mathrm{when}\:\mathrm{y}=\mathrm{1},\:\mathrm{z}+\mathrm{x}\mid\mathrm{z}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{z}+\mathrm{x}\leqslant\mathrm{z}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{1}\Rightarrow\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{1},\mathrm{z}\right) \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{z}=\mathrm{1},\:\mathrm{y}+\mathrm{x}\mid\mathrm{y}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{y}+\mathrm{x}\leqslant\mathrm{y}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{y},\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\left(\mathrm{xy}+\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{zx}+\mathrm{y}\right)}{\left(\mathrm{yz}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{or}\:\frac{\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}\right)}{\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{II}:\:\mathrm{yz}+\mathrm{x}\mid\mathrm{x}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{yz}+\mathrm{x}\leqslant\mathrm{x}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{yz}\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(\mathrm{x},\mathrm{1},\mathrm{1}\right)\Rightarrow\frac{\left(\mathrm{xy}+\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{zx}+\mathrm{y}\right)}{\left(\mathrm{yz}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{In}\:\mathrm{all}\:\mathrm{cases},\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\frac{\left(\mathrm{xy}+\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{zx}+\mathrm{y}\right)}{\left(\mathrm{yz}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1} \\ $$

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