Question Number 176513 by CrispyXYZ last updated on 20/Sep/22
$${z}\in\mathbb{C},\:\frac{{z}−\mathrm{3i}}{{z}+\mathrm{i}}\in\mathbb{R}^{−} \:,\:\:\frac{{z}−\mathrm{3}}{{z}+\mathrm{1}}\in\mathbb{I} \\ $$$$\mathrm{find}\:{z}. \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 20/Sep/22
![Posons z=x+iy ((z−3i)/(z+i))=((x+(y−3)i)/(x+(y+1)i))=(([x+(y−3)i][x−(y+1)i])/(x^2 +(y+1)^2 ))=(([x^2 +(y+1)(y−3)]+[(x(y−3)−x(y+1))i])/(x^2 −(y+1)^2 )) ((z−3i)/(z+i))= (((x^2 +y^2 −2y−3)−(4x)i)/(x^2 +(y+1)^2 )) ((z−3)/(z+1))=(((x−3)+yi)/((x+1)+yi))=(([(x−3)+yi][(x+1)−yi])/((x+1)^2 +y^2 ))=(([(x−3)(x+1)+y^2 ]+[((x+1)y−(x−3)y)i)/((x+1)^2 +y^2 )) ((z−3)/(z+1))=(([x^2 +y^2 −2x−3]+(4y)i)/((x+1)^2 +y^2 )) ((z−3i)/(z+i))∈R^− ⇒x=0 ((z−3i)/(z+i))=((y^2 −2y−3)/((y+1)^2 ))<0 ((z−3)/(z+1)) imaginaire x^2 +y^2 −2x−3=0 (y≠0) avec x=0 donc z verifie y=±(√3) y=−(√3) rejete y=+(√3) ((z−3i)/(z+i))=((3−2(√3) −3)/(((√3) +1)^2 ))<0 et ((z−3)/(z+1))=((4(√3) )/3)i ∈I ⇒ z=(√3) i](https://www.tinkutara.com/question/Q176524.png)
$$\mathrm{Posons}\:\:\:\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} \\ $$$$\frac{\mathrm{z}−\mathrm{3i}}{\mathrm{z}+\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{x}+\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)\mathrm{i}}{\mathrm{x}+\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}}=\frac{\left[\mathrm{x}+\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)\mathrm{i}\right]\left[\mathrm{x}−\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}\right]}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\left[\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)\right]+\left[\left(\mathrm{x}\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)−\mathrm{x}\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)\right)\mathrm{i}\right]}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{z}−\mathrm{3i}}{\mathrm{z}+\mathrm{i}}=\:\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2y}−\mathrm{3}\right)−\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{i}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{z}−\mathrm{3}}{\mathrm{z}+\mathrm{1}}=\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{yi}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{yi}}=\frac{\left[\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{yi}\right]\left[\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{yi}\right]}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }=\frac{\left[\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right]+\left[\left(\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{y}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{y}\right)\mathrm{i}\right.}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\: \\ $$$$\frac{\mathrm{z}−\mathrm{3}}{\mathrm{z}+\mathrm{1}}=\frac{\left[\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right]+\left(\mathrm{4}{y}\right){i}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{z}−\mathrm{3i}}{\mathrm{z}+\mathrm{i}}\in\mathbb{R}^{−} \:\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\:\:\frac{\mathrm{z}−\mathrm{3i}}{\mathrm{z}+\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2y}−\mathrm{3}}{\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }<\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{z}−\mathrm{3}}{\mathrm{z}+\mathrm{1}}\:\mathrm{imaginaire}\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}=\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{y}\neq\mathrm{0}\right)\:\:\mathrm{avec}\:\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$${donc}\:\:\:\:\mathrm{z}\:\:\mathrm{verifie} \\ $$$$\mathrm{y}=\pm\sqrt{\mathrm{3}}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{y}=−\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{rejete} \\ $$$$\mathrm{y}=+\sqrt{\mathrm{3}}\:\: \\ $$$$\frac{\mathrm{z}−\mathrm{3i}}{\mathrm{z}+\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{3}}{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }<\mathrm{0}\:\:\:\mathrm{et}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{z}−\mathrm{3}}{\mathrm{z}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\:}{\mathrm{3}}\mathrm{i}\:\in\boldsymbol{\mathrm{I}}\:\:\:\Rightarrow\:\:\boldsymbol{\mathrm{z}}=\sqrt{\mathrm{3}}\:\boldsymbol{\mathrm{i}} \\ $$$$ \\ $$