Question Number 193221 by York12 last updated on 07/Jun/23
$$ \\ $$$$\boldsymbol{{find}}\:\boldsymbol{{the}}\:\boldsymbol{{cube}}\:\boldsymbol{{root}}\:\boldsymbol{{of}} \\ $$$$\mathrm{9}\boldsymbol{{ab}}^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\boldsymbol{{b}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{24}\boldsymbol{{a}}^{\mathrm{2}} \right)\sqrt{\boldsymbol{{b}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\boldsymbol{{a}}^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by som(math1967) last updated on 08/Jun/23
![9ab^2 +b^2 (√(b^2 −3a^2 ))+24a^2 (√(b^2 −3a^2 )) 9ab^2 +b^2 (√(b^2 −3a^2 )) −3a^2 (√(b^2 −3a^2 )) +27a^2 (√(b^2 −3a^2 )) =(b^2 −3a^2 )(√(b^2 −3a^2 )) +3.(3a)^2 (√(b^2 −3a^2 )) +3.3a(b^2 −3a^2 )+27a^3 [∵9ab^2 =3.3a(b^2 −3a^2 )+27a^3 ] =((√(b^2 −3a^2 ))+3a)^3 ∴cube root=((√(b^2 −3a^2 ))+3a)](https://www.tinkutara.com/question/Q193225.png)
$$\mathrm{9}{ab}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{24}{a}^{\mathrm{2}} \sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{9}{ab}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} \sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:+\mathrm{27}{a}^{\mathrm{2}} \sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\left({b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} \right)\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{3}.\left(\mathrm{3}{a}\right)^{\mathrm{2}} \sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$+\mathrm{3}.\mathrm{3}{a}\left({b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{27}{a}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\left[\because\mathrm{9}{ab}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}.\mathrm{3}{a}\left({b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{27}{a}^{\mathrm{3}} \right] \\ $$$$=\left(\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{3}{a}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\therefore{cube}\:{root}=\left(\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{3}{a}\right) \\ $$