Menu Close

Question-194522

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 194522 by cortano12 last updated on 09/Jul/23
Answered by witcher3 last updated on 09/Jul/23
u=((x−5))^(1/3) v=((7−x))^(1/3) u^3 +v^3 =2p ((v−u)/(u+v))=(1/2)(v^3 −u^3 ) ⇒(v−u)((1/2)(v+u)(u^2 +v^2 +uv)−1)=0 v=u⇒x−5=7−x⇒x=6 (v+u)(u^2 +v^2 +uv)=2 u^3 +v^3 +2uv(u+v)=2 ⇔2+2uv(u+v)=0 ⇒uv(u+v)=0⇒u=0,v=0,u=−v u=0⇒x=5,v=0⇒x=7 u=−v⇒u^3 =−v^3 ⇒x−7=x−5..impossible S={5,7,6}
$$\mathrm{u}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}−\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{v}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{v}^{\mathrm{3}} =\mathrm{2p} \\ $$$$\frac{\mathrm{v}−\mathrm{u}}{\mathrm{u}+\mathrm{v}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{v}^{\mathrm{3}} −\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{v}−\mathrm{u}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{v}+\mathrm{u}\right)\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{uv}\right)−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{v}=\mathrm{u}\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{5}=\mathrm{7}−\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{6} \\ $$$$\left(\mathrm{v}+\mathrm{u}\right)\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{uv}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{v}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2uv}\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2}+\mathrm{2uv}\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{uv}\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{u}=\mathrm{0},\mathrm{v}=\mathrm{0},\mathrm{u}=−\mathrm{v} \\ $$$$\mathrm{u}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{5},\mathrm{v}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{u}=−\mathrm{v}\Rightarrow\mathrm{u}^{\mathrm{3}} =−\mathrm{v}^{\mathrm{3}} \Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{7}=\mathrm{x}−\mathrm{5}..\mathrm{impossible} \\ $$$$\mathrm{S}=\left\{\mathrm{5},\mathrm{7},\mathrm{6}\right\} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Jul/23
((((7−x))^(1/3) −((x−5))^(1/3) )/( ((7−x))^(1/3) +((x−5))^(1/3) ))=((6−x)/1) (a/b)=(c/d)⇔((a+b)/(a−b))=((c+d)/(c−d)) (((((7−x))^(1/3) −((x−5))^(1/3) )+(((7−x))^(1/3) +((x−5))^(1/3) ))/((((7−x))^(1/3) −((x−5))^(1/3) )−(((7−x))^(1/3) +((x−5))^(1/3) )))=(((6−x)+1)/((6−x)−1)) ((2((7−x))^(1/3) )/(−2((x−5))^(1/3) ))=((7−x)/(5−x)) ((((7−x))^(1/3) )/( ((x−5))^(1/3) ))=((7−x)/(x−5)) ((7−x )/( x−5))=(((7−x)/(x−5)))^3 (((7−x)/(x−5)))[(((7−x)/(x−5)))^2 −1]=0 ((7−x)/(x−5))=0 ∣ (((7−x)/(x−5)))^2 =1 x=7✓ ∣ 7−x=±(x−5) ∣ 7−x=x−5 ∣ 7−x=−x+5_(Absurd) ∣ x=6 ✓ I lost x=5 which is also a root!
$$\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}=\frac{\mathrm{6}−{x}}{\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{a}}{{b}}=\frac{{c}}{{d}}\Leftrightarrow\frac{{a}+{b}}{{a}−{b}}=\frac{{c}+{d}}{{c}−{d}} \\ $$$$\frac{\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\right)+\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\right)}{\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\right)−\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\right)}=\frac{\left(\mathrm{6}−{x}\right)+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{6}−{x}\right)−\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:}{−\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}=\frac{\mathrm{7}−{x}}{\mathrm{5}−{x}} \\ $$$$\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}=\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}} \\ $$$$\frac{\mathrm{7}−{x}\:}{\:{x}−\mathrm{5}}=\left(\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}\right)\left[\left(\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right]=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}=\mathrm{0}\:\mid\:\left(\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$${x}=\mathrm{7}\checkmark\:\:\:\:\mid\:\mathrm{7}−{x}=\pm\left({x}−\mathrm{5}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\mathrm{7}−{x}={x}−\mathrm{5}\:\mid\:\underset{{Absurd}} {\mathrm{7}−{x}=−{x}+\mathrm{5}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\:{x}=\mathrm{6}\:\checkmark\:\: \\ $$$${I}\:{lost}\:{x}=\mathrm{5}\:{which}\:{is}\:{also}\:{a}\:{root}! \\ $$
Commented by BaliramKumar last updated on 09/Jul/23
((7−x )/( x−5))=(((7−x)/(x−5)))^3 ((x−5 )/( 7−x))=(((x−5)/(7−x)))^3 ↑↓ = ↑↓ x = 5
$$\frac{\mathrm{7}−{x}\:}{\:{x}−\mathrm{5}}=\left(\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{{x}−\mathrm{5}\:}{\:\mathrm{7}−{x}}=\left(\frac{{x}−\mathrm{5}}{\mathrm{7}−{x}}\right)^{\mathrm{3}} \:\:\:\:\:\:\:\:\uparrow\downarrow\:=\:\uparrow\downarrow \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\mathrm{5} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Jul/23
Thanx Baliram!
$$\mathrm{Thanx}\:\mathrm{Baliram}! \\ $$
Commented by BaliramKumar last updated on 09/Jul/23
Welcome Sir
$$\mathrm{Welcome}\:\mathrm{Sir} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Jul/23
��
Answered by Frix last updated on 09/Jul/23
t=6−x ⇒ x=6−t ((((1+t))^(1/3) −((1−t))^(1/3) )/( ((1+t))^(1/3) +((1−t))^(1/3) ))=t (1−t)((1+t))^(1/3) =(1+t)((1−t))^(1/3) Both sides =0 if t=±1 ⇒ x=5∨x=7 Both sides =1 if t=0 ⇒ x=6 If it′s not obvious: (1−t)^3 (1+t)=(1+t)^3 (1−t) t_1 =−1 (1−t)^3 =(1+t)^2 (1−t) t_2 =1 (1−t)^2 =(1+t)^2 1−2t+t^2 =1+2t+t^2 −t=t t_3 =0
$${t}=\mathrm{6}−{x}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{6}−{t} \\ $$$$\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}+{t}}−\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}−{t}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}+{t}}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}−{t}}}={t} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{t}\right)\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}+{t}}=\left(\mathrm{1}+{t}\right)\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}−{t}} \\ $$$$\mathrm{Both}\:\mathrm{sides}\:=\mathrm{0}\:\mathrm{if}\:{t}=\pm\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{5}\vee{x}=\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{Both}\:\mathrm{sides}\:=\mathrm{1}\:\mathrm{if}\:{t}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{6} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{If}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{not}\:\mathrm{obvious}: \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{t}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}+{t}\right)=\left(\mathrm{1}+{t}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}−{t}\right) \\ $$$${t}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{t}\right)^{\mathrm{3}} =\left(\mathrm{1}+{t}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{t}\right) \\ $$$${t}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{t}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{1}+{t}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{2}{t}+{t}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}+\mathrm{2}{t}+{t}^{\mathrm{2}} \\ $$$$−{t}={t} \\ $$$${t}_{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Jul/23
((((7−x))^(1/3) −((x−5))^(1/3) )/( ((7−x))^(1/3) +((x−5))^(1/3) ))−1=((6−x)/1)−1 ((−2((x−5))^(1/3) )/( ((7−x))^(1/3) +((x−5))^(1/3) ))=5−x ((2((x−5))^(1/3) )/( ((7−x))^(1/3) +((x−5))^(1/3) ))=x−5 ((7−x))^(1/3) +((x−5))^(1/3) =((2((x−5))^(1/3) )/(x−5))........(i) ((((7−x))^(1/3) −((x−5))^(1/3) )/( ((7−x))^(1/3) +((x−5))^(1/3) ))+1=((6−x)/1)+1 ((2((7−x))^(1/3) )/( ((7−x))^(1/3) +((x−5))^(1/3) ))=((7−x)/1) ((7−x))^(1/3) +((x−5))^(1/3) =((2((7−x))^(1/3) )/(7−x))......(ii) (i)&(ii): ((2((x−5))^(1/3) )/(x−5))=((2((7−x))^(1/3) )/(7−x)) (((x−5))^(1/3) /( ((7−x))^(1/3) ))=((x−5)/(7−x)) ((x−5)/( 7−x))=(((x−5)/(7−x)))^3 or ((7−x)/(x−5))=(((7−x)/(x−5)))^3 (((x−5)/(7−x)))^3 −((x−5)/( 7−x))=0 or (((7−x)/(x−5)))^3 −((7−x)/(x−5))=0 ((x−5)/( 7−x))((((x−5)/(7−x)))^2 −1)=0 or ((7−x)/(x−5))((((7−x)/(x−5)))^2 −1)=0 ((x−5)/( 7−x))=0 ∣ (((x−5)/(7−x)))^2 =1or ((7−x)/(x−5))=0 ∣ (((7−x)/(x−5)))^2 =1 ((x−5)/( 7−x))=0 ∣ ((7−x)/(x−5))=0 ∣ (((x−5)/(7−x)))^2 =1 x=5 ∣ x=7 ∣ x=6
$$ \\ $$$$\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{6}−{x}}{\mathrm{1}}−\mathrm{1} \\ $$$$\frac{−\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}=\mathrm{5}−{x} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}={x}−\mathrm{5} \\ $$$$\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:=\frac{\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}{{x}−\mathrm{5}}……..\left({i}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}+\mathrm{1}=\frac{\mathrm{6}−{x}}{\mathrm{1}}+\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:\:}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}=\frac{\mathrm{7}−{x}}{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:=\frac{\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}}{\mathrm{7}−{x}}……\left({ii}\right) \\ $$$$\left({i}\right)\&\left({ii}\right):\:\:\:\frac{\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}{{x}−\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}}{\mathrm{7}−{x}} \\ $$$$\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}}=\frac{{x}−\mathrm{5}}{\mathrm{7}−{x}} \\ $$$$\frac{{x}−\mathrm{5}}{\:\mathrm{7}−{x}}=\left(\frac{{x}−\mathrm{5}}{\mathrm{7}−{x}}\right)^{\mathrm{3}} \:\mathrm{or}\:\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}=\left(\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\left(\frac{{x}−\mathrm{5}}{\mathrm{7}−{x}}\right)^{\mathrm{3}} −\frac{{x}−\mathrm{5}}{\:\mathrm{7}−{x}}=\mathrm{0}\:\mathrm{or}\:\left(\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{x}−\mathrm{5}}{\:\mathrm{7}−{x}}\left(\left(\frac{{x}−\mathrm{5}}{\mathrm{7}−{x}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\:\mathrm{or}\:\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}\left(\left(\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{x}−\mathrm{5}}{\:\mathrm{7}−{x}}=\mathrm{0}\:\mid\:\left(\frac{{x}−\mathrm{5}}{\mathrm{7}−{x}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1or}\:\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}=\mathrm{0}\:\mid\:\left(\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\frac{{x}−\mathrm{5}}{\:\mathrm{7}−{x}}=\mathrm{0}\:\mid\:\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}=\mathrm{0}\:\mid\:\left(\frac{{x}−\mathrm{5}}{\mathrm{7}−{x}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$${x}=\mathrm{5}\:\:\mid\:\:{x}=\mathrm{7}\:\mid\:{x}=\mathrm{6} \\ $$
Answered by horsebrand11 last updated on 10/Jul/23
((−2((x−5))^(1/3) )/(2((7−x))^(1/3) )) = ((5−x)/(7−x)) (7−x)((x−5))^(1/3) = (x−5)((7−x))^(1/3) (7−x)^3 (x−5)=(x−5)^3 (7−x) (7−x)(x−5){(7−x)^2 −(x−5)^2 }=0 (7−x)(x−5)(2.(12−2x))=0
$$\:\:\:\:\frac{−\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}−\mathrm{5}}}{\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−\mathrm{x}}}\:=\:\frac{\mathrm{5}−\mathrm{x}}{\mathrm{7}−\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{7}−\mathrm{x}\right)\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}−\mathrm{5}}\:=\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{7}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{7}−\mathrm{x}\right) \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{7}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left\{\left(\mathrm{7}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \right\}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{7}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{2}.\left(\mathrm{12}−\mathrm{2x}\right)\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 10/Jul/23
((((7−x))^(1/3) −((x−5))^(1/3) )/( ((7−x))^(1/3) +((x−5))^(1/3) ))=6−x ((a−b)/(a+b))=6−x [ a=((7−x))^(1/3) , b=((x−5))^(1/3) ] ((a−b)/(a+b))∙((a^2 +ab+b^2 )/(a^2 −ab+b^2 ))∙((a^2 −ab+b^2 )/(a^2 +ab+b^2 ))=6−x ((a^3 −b^3 )/(a^3 +b^3 ))∙((a^2 −ab+b^2 )/(a^2 +ab+b^2 ))=6−x (((7−x)−(x−5))/((7−x)+(x−5)))∙((a^2 −ab+b^2 )/(a^2 +ab+b^2 ))=6−x ((2(6−x))/2)∙((a^2 −ab+b^2 )/(a^2 +ab+b^2 ))=6−x (6−x)∙((a^2 −ab+b^2 )/(a^2 +ab+b^2 ))−(6−x)=0 (6−x)(((a^2 −ab+b^2 )/(a^2 +ab+b^2 ))−1)=0 6−x=0 ∣ ((a^2 −ab+b^2 )/(a^2 +ab+b^2 ))−1=0 x=6✓ ∣ ((a^2 −ab+b^2 )/(a^2 +ab+b^2 ))=1 ∣ a^2 −ab+b^2 =a^2 +ab+b^2 ∣ ab=0 ∣ a=0 ∣ b=0 ∣ ((7−x))^(1/3) =0 ∣ ((x−5))^(1/3) =0 ∣ x=7✓ ∣ x=5✓
$$\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}=\mathrm{6}−{x} \\ $$$$\frac{{a}−{b}}{{a}+{b}}=\mathrm{6}−{x}\:\:\left[\:{a}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:,\:{b}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:\right] \\ $$$$\frac{{a}−{b}}{{a}+{b}}\centerdot\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} −{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }\centerdot\frac{{a}^{\mathrm{2}} −{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} +{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{6}−{x} \\ $$$$\frac{{a}^{\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{3}} }{{a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} }\centerdot\frac{{a}^{\mathrm{2}} −{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} +{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{6}−{x} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{7}−{x}\right)−\left({x}−\mathrm{5}\right)}{\left(\mathrm{7}−{x}\right)+\left({x}−\mathrm{5}\right)}\centerdot\frac{{a}^{\mathrm{2}} −{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} +{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{6}−{x} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{6}−{x}\right)}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{{a}^{\mathrm{2}} −{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} +{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{6}−{x} \\ $$$$\left(\mathrm{6}−{x}\right)\centerdot\frac{{a}^{\mathrm{2}} −{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} +{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }−\left(\mathrm{6}−{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{6}−{x}\right)\left(\frac{{a}^{\mathrm{2}} −{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} +{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{6}−{x}=\mathrm{0}\:\mid\:\frac{{a}^{\mathrm{2}} −{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} +{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\mathrm{6}\checkmark\:\mid\:\frac{{a}^{\mathrm{2}} −{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} +{ab}+{b}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:{a}^{\mathrm{2}} −{ab}+{b}^{\mathrm{2}} ={a}^{\mathrm{2}} +{ab}+{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:{ab}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:{a}=\mathrm{0}\:\mid\:{b}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:=\mathrm{0}\:\mid\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\:{x}=\mathrm{7}\checkmark\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\:{x}=\mathrm{5}\checkmark \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 10/Jul/23
((((7−x))^(1/3) −((x−5))^(1/3) )/( ((7−x))^(1/3) +((x−5))^(1/3) ))=6−x=(((7−x)−(x−5))/((7−x)+(x−5))) ((1−(((x−5))^(1/3) /( ((7−x))^(1/3) )))/(1+(((x−5))^(1/3) /( ((7−x))^(1/3) ))))=((1−((x−5)/(7−x)))/(1+((x−5)/(7−x)))) [x≠7] (((x−5))^(1/3) /( ((7−x))^(1/3) ))=((x−5)/(7−x)) ((x−5)/(7−x))=(((x−5)/(7−x)))^3 x=5,6................(i) Similarly, (((((7−x))^(1/3) /( ((x−5))^(1/3) ))−1)/((((7−x))^(1/3) /( ((x−5))^(1/3) ))+1))=((((7−x)/(x−5))−1)/(((7−x)/(x−5))−1)) [x≠5] (((7−x))^(1/3) /( ((x−5))^(1/3) ))=((7−x)/(x−5)) ((7−x)/(x−5))=(((7−x)/(x−5)))^3 x=6,7...............(ii) From (i) & (ii): x=5 or 6 or 7
$$\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}\:}=\mathrm{6}−{x}=\frac{\left(\mathrm{7}−{x}\right)−\left({x}−\mathrm{5}\right)}{\left(\mathrm{7}−{x}\right)+\left({x}−\mathrm{5}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}−\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:}}{\mathrm{1}+\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:}}=\frac{\mathrm{1}−\frac{{x}−\mathrm{5}}{\mathrm{7}−{x}}}{\mathrm{1}+\frac{{x}−\mathrm{5}}{\mathrm{7}−{x}}}\:\left[{x}\neq\mathrm{7}\right] \\ $$$$\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}\:}=\frac{{x}−\mathrm{5}}{\mathrm{7}−{x}} \\ $$$$\frac{{x}−\mathrm{5}}{\mathrm{7}−{x}}=\left(\frac{{x}−\mathrm{5}}{\mathrm{7}−{x}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$${x}=\mathrm{5},\mathrm{6}…………….\left({i}\right) \\ $$$${Similarly}, \\ $$$$\frac{\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}−\mathrm{1}}{\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}+\mathrm{1}}=\frac{\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}−\mathrm{1}}\:\:\left[{x}\neq\mathrm{5}\right] \\ $$$$\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{7}−{x}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{5}}}=\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}} \\ $$$$\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}=\left(\frac{\mathrm{7}−{x}}{{x}−\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$${x}=\mathrm{6},\mathrm{7}……………\left({ii}\right) \\ $$$${From}\:\left({i}\right)\:\&\:\left({ii}\right): \\ $$$${x}=\mathrm{5}\:\mathrm{or}\:\mathrm{6}\:\mathrm{or}\:\mathrm{7} \\ $$
Commented by Frix last updated on 10/Jul/23
From ((...)/(7−x)) ⇒ x≠7
$$\mathrm{From}\:\frac{…}{\mathrm{7}−{x}}\:\Rightarrow\:{x}\neq\mathrm{7} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 10/Jul/23
Yes sir, you′re very right! I′ve modified my answer.
$$\mathrm{Yes}\:\boldsymbol{\mathrm{sir}},\:\mathrm{you}'\mathrm{re}\:\mathrm{very}\:\mathrm{right}!\:\mathrm{I}'\mathrm{ve}\:\mathrm{modified} \\ $$$$\mathrm{my}\:\mathrm{answer}. \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *