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Equation-J-1-z-Y-z-J-z-Y-1-z-2-piz-plz-Solve-this-Equation-J-z-is-First-Kind-Bessel-Function-Y-z-is-Second-Kind-Bessel-Function-aka-Neuman-Func

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Question Number 194568 by MathedUp last updated on 10/Jul/23
Equation.. J_š› ^((1)) (z)Y_š› (z)āˆ’J_š› (z)Y_š› ^((1)) (z)=āˆ’(2/(Ļ€z)) plz......Solve this Equation....... J_š› (z) is First Kind Bessel Function Y_š› (z) is Second Kind Bessel Function (aka Neuman Function) f^((n)) (z) n times derivate f(z) respect z
$$\mathrm{Equation}.. \\ $$$${J}_{\boldsymbol{\mu}} ^{\left(\mathrm{1}\right)} \left({z}\right){Y}_{\boldsymbol{\mu}} \left({z}\right)āˆ’{J}_{\boldsymbol{\mu}} \left({z}\right){Y}_{\boldsymbol{\mu}} ^{\left(\mathrm{1}\right)} \left({z}\right)=āˆ’\frac{\mathrm{2}}{\pi{z}} \\ $$$$\mathrm{plz}……\mathrm{Solve}\:\mathrm{this}\:\mathrm{Equation}……. \\ $$$${J}_{\boldsymbol{\mu}} \left({z}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{First}\:\mathrm{Kind}\:\mathrm{Bessel}\:\mathrm{Function} \\ $$$${Y}_{\boldsymbol{\mu}} \left({z}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{Second}\:\mathrm{Kind}\:\mathrm{Bessel}\:\mathrm{Function} \\ $$$$\left(\mathrm{aka}\:\mathrm{Neuman}\:\mathrm{Function}\right) \\ $$$${f}^{\left({n}\right)} \left({z}\right)\:{n}\:\mathrm{times}\:\mathrm{derivate}\:{f}\left({z}\right)\:\mathrm{respect}\:{z} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 10/Jul/23
Y_a (z)=((J_a (z)cos(Ļ€a)āˆ’J_(āˆ’a) (z))/(sin(Ļ€a))) J_a ā€²(z)Y_a (z)āˆ’J_a (z)Yā€²_a (z)= (1/(sin(Ļ€a)))[Jā€²_a (z)J_a (z)cos(Ļ€a)āˆ’Jā€²_a (z)J_(āˆ’a) (z)āˆ’J_a Jā€²_a cos(Ļ€a) +J_(āˆ’a) ^ā€² (z)J_a (z)] =((Jā€²_(āˆ’a) (z)J_a (z)āˆ’Jā€²_a (z)J_(āˆ’a) (z))/(sin(Ļ€a))) We Have J_a (z),J_(āˆ’a) (z) Solution of z^2 fā€²ā€²(z)+zfā€²(z)+(z^2 āˆ’a^2 )f=0 ā‡’ { ((z^2 J_a ā€²ā€²(z)+zJ_a ^ā€² (z)+(z^2 āˆ’a^2 )J_a (z)=0...1)),((z^2 J_(āˆ’a) ^(ā€²ā€²) (z)+zJā€²_(āˆ’a) (z)+(z^2 āˆ’a^2 )J_(āˆ’a) (z)=0..2)) :} (1)āˆ—J_(āˆ’a) (z)āˆ’(2)āˆ—J_a (z) ā‡”z^2 (Jā€²ā€²_a J_(āˆ’a) āˆ’Jā€²ā€²_(āˆ’a) J_a )+z(Jā€²_a J_(āˆ’a) āˆ’J_(āˆ’a) ^ā€² J_a )=0 ā‡’z(Jā€²ā€²_a J_(āˆ’a) āˆ’Jā€²ā€²_(āˆ’a) J_a )+(Jā€²_a J_(āˆ’a) āˆ’J_(āˆ’a) ^ā€² J_a )=0 ā‡”(d/dz)(z(J_a ā€²(z)J_(āˆ’a) (z)āˆ’Jā€²_(āˆ’a) (z)J_a (z))=0 ā‡”Jā€²_a J_(āˆ’a) āˆ’Jā€²_(āˆ’a) J=(c/z) know using taylor expension of Bassel Function J_a (z)=((((z/2))^a )/(Ī“(1+a)))(1+O(z^2 )) Jā€²_a (z)=((((z/2))^(aāˆ’1) )/(2Ī“(a)))(1+O(z^2 )) (Jā€²_a J_(āˆ’a) āˆ’J_(āˆ’a) ^ā€² J_a )=(1/z)((1/(Ī“(a)Ī“(1āˆ’a)))āˆ’(1/(Ī“(āˆ’a)Ī“(1+a))))(1+O(z^2 )) Ī“(z)Ī“(1āˆ’z)=(Ļ€/(sin(Ļ€z))) we get (2/z)(((sin(Ļ€a))/Ļ€))ā‡’C=2((sin(Ļ€a))/Ļ€) ā‡’Jā€²_(āˆ’a) (z)J_a (z)āˆ’Jā€²_a (z)J_(āˆ’a) (z)=((āˆ’2sin(Ļ€a))/(Ļ€z)) J_a ā€²(z)Y_a (z)āˆ’J_a (z)Yā€²_a (z)=(1/(sin(Ļ€a)))[Jā€²_(āˆ’a) (z)J_a (z)āˆ’Jā€²_a (z)J_(āˆ’a) (z)] =(1/(sin(Ļ€a))) ((āˆ’2sin(Ļ€a))/(Ļ€z))=āˆ’(2/(Ļ€z))
$$\mathrm{Y}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{cos}\left(\pi\mathrm{a}\right)āˆ’\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)} \\ $$$$\mathrm{J}_{\mathrm{a}} '\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{Y}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)āˆ’\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{Y}'_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)= \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)}\left[\mathrm{J}'_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{cos}\left(\pi\mathrm{a}\right)āˆ’\mathrm{J}'_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)āˆ’\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \mathrm{J}'_{\mathrm{a}} \mathrm{cos}\left(\pi\mathrm{a}\right)\right. \\ $$$$\left.+\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} ^{'} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{J}'_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)āˆ’\mathrm{J}'_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{Have}\:\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right),\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\:\:\mathrm{Solution}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \mathrm{f}''\left(\mathrm{z}\right)+\mathrm{zf}'\left(\mathrm{z}\right)+\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} āˆ’\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{f}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \mathrm{J}_{\mathrm{a}} ''\left(\mathrm{z}\right)+\mathrm{zJ}_{\mathrm{a}} ^{'} \left(\mathrm{z}\right)+\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} āˆ’\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{0}…\mathrm{1}}\\{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} ^{''} \left(\mathrm{z}\right)+\mathrm{zJ}'_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)+\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} āˆ’\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{0}..\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\ast\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)āˆ’\left(\mathrm{2}\right)\ast\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{J}''_{\mathrm{a}} \mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} āˆ’\mathrm{J}''_{āˆ’\mathrm{a}} \mathrm{J}_{\mathrm{a}} \right)+\mathrm{z}\left(\mathrm{J}'_{\mathrm{a}} \mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} āˆ’\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} ^{'} \mathrm{J}_{\mathrm{a}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}\left(\mathrm{J}''_{\mathrm{a}} \mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} āˆ’\mathrm{J}''_{āˆ’\mathrm{a}} \mathrm{J}_{\mathrm{a}} \right)+\left(\mathrm{J}'_{\mathrm{a}} \mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} āˆ’\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} ^{'} \mathrm{J}_{\mathrm{a}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dz}}\left(\mathrm{z}\left(\mathrm{J}_{\mathrm{a}} '\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)āˆ’\mathrm{J}'_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\right)=\mathrm{0}\right. \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{J}'_{\mathrm{a}} \mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} āˆ’\mathrm{J}'_{āˆ’\mathrm{a}} \mathrm{J}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{z}} \\ $$$$\mathrm{know}\:\mathrm{using}\:\mathrm{taylor}\:\mathrm{expension}\:\mathrm{of}\:\mathrm{Bassel}\:\mathrm{Function} \\ $$$$\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)=\frac{\left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{a}} }{\Gamma\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)}\left(\mathrm{1}+\mathrm{O}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)\right) \\ $$$$\mathrm{J}'_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)=\frac{\left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{a}āˆ’\mathrm{1}} }{\mathrm{2}\Gamma\left(\mathrm{a}\right)}\left(\mathrm{1}+\mathrm{O}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)\right) \\ $$$$\left(\mathrm{J}'_{\mathrm{a}} \mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} āˆ’\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} ^{'} \mathrm{J}_{\mathrm{a}} \right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\Gamma\left(\mathrm{a}\right)\Gamma\left(\mathrm{1}āˆ’\mathrm{a}\right)}āˆ’\frac{\mathrm{1}}{\Gamma\left(āˆ’\mathrm{a}\right)\Gamma\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{O}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)\right) \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{z}\right)\Gamma\left(\mathrm{1}āˆ’\mathrm{z}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{z}\right)} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{z}}\left(\frac{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)}{\pi}\right)\Rightarrow\mathrm{C}=\mathrm{2}\frac{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)}{\pi} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{J}'_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)āˆ’\mathrm{J}'_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)=\frac{āˆ’\mathrm{2sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)}{\pi\mathrm{z}} \\ $$$$\mathrm{J}_{\mathrm{a}} '\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{Y}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)āˆ’\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{Y}'_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)}\left[\mathrm{J}'_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{J}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)āˆ’\mathrm{J}'_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\mathrm{J}_{āˆ’\mathrm{a}} \left(\mathrm{z}\right)\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)}\:\frac{āˆ’\mathrm{2sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)}{\pi\mathrm{z}}=āˆ’\frac{\mathrm{2}}{\pi\mathrm{z}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by MathedUp last updated on 11/Jul/23
WoW !!!!! I really understood after watching this Thx
Commented by MathedUp last updated on 11/Jul/23
Commented by witcher3 last updated on 11/Jul/23
happy that help you Thanx sir
$$\mathrm{happy}\:\mathrm{that}\:\mathrm{help}\:\mathrm{you}\:\mathrm{Thanx}\:\mathrm{sir} \\ $$$$ \\ $$

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