Question Number 200860 by liuxinnan last updated on 25/Nov/23
$${when}\:{x}\in\left[\mathrm{0},\infty\right) \\ $$$$\left({x}+{m}\right){e}^{\mathrm{2}{x}} −{x}^{\mathrm{2}} \geqslant\left({x}+{m}\right){ln}\left({x}+{m}\right) \\ $$$${m}\in? \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 25/Nov/23
![m≥mln(m) ⇒m(1−ln(m))≥0 ln(m)≤1⇒m∈[0,e] m=e f(x)=(x+e)e^(2x) −x^2 −(x+e)ln(x+e)≥0 f′(x)=(2x+2e+1)e^(2x) −2x−ln(x+e)−1 2xe^(2x) −2x≥0 ln(x+e)=1+ln(1+(x/e))<1+(x/e)<e^x 2e.e^(2x) >1 ⇒f′(x)>0 f(x)>f(0)=e−e=0 ⇒∀x∈R f(x)≥0 m=e](https://www.tinkutara.com/question/Q200881.png)
$$\mathrm{m}\geqslant\mathrm{mln}\left(\mathrm{m}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}\left(\mathrm{1}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{m}\right)\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{m}\right)\leqslant\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{m}\in\left[\mathrm{0},\mathrm{e}\right] \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{e} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+\mathrm{e}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{e}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{e}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{2x}+\mathrm{2e}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{2x}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{e}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2xe}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{2x}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{e}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{e}}\right)<\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{e}}<\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{2e}.\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} >\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{e}−\mathrm{e}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{e} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$