Question Number 207661 by efronzo1 last updated on 22/May/24
$$\:\mathrm{P}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2023}} \\ $$$$\:\mathrm{Q}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}×\mathrm{2023}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}×\mathrm{2021}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}×\mathrm{2019}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2023}×\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}=? \\ $$
Answered by Frix last updated on 22/May/24
![P(m)=Σ_(k=1) ^((m+1)/2) (1/(2k−1)) ∧m=2n−1 P(2n−1)=Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1)) =H_(2n−1) −(H_(n−1) /2) Q(m)=Σ_(k=1) ^((m+1)/2) (1/((2k−1)(m+1−(2k−1))) ∧m=2n−1 Q(2n−1)=Σ_(k=1) ^n (1/((2k−1)(2n−2k+1))) = =(1/(2n))(Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1)) +Σ_(k=1) ^n (1/(2n−2k+1)))= [Σ_(k=1) ^n (1/(2k−1)) =Σ_(k=1) ^n (1/(2n−2k+1))] =(1/n)(H_(2n−1) −(H_(n−1) /2)) ⇒ ((P(2n−1))/(Q(2n−1)))=n ⇒ ((P(m))/(Q(m)))=((m+1)/2) m=2023 ⇒ Answer is 1012](https://www.tinkutara.com/question/Q207678.png)
$${P}\left({m}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\frac{{m}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}\:\wedge{m}=\mathrm{2}{n}−\mathrm{1} \\ $$$${P}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}\:={H}_{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} −\frac{{H}_{{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}} \\ $$$${Q}\left({m}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\frac{{m}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right)\left({m}+\mathrm{1}−\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right)\right.}\:\wedge{m}=\mathrm{2}{n}−\mathrm{1} \\ $$$${Q}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)}\:= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}\:+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}\right)= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}}\:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{n}}\left({H}_{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} −\frac{{H}_{{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\frac{{P}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{{Q}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}={n} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\frac{{P}\left({m}\right)}{{Q}\left({m}\right)}=\frac{{m}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${m}=\mathrm{2023}\:\Rightarrow\:\mathrm{Answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{1012} \\ $$
Answered by MM42 last updated on 22/May/24
![Q=(1/(2024))[(1+(1/(2023)))+((1/3)+(1/(2021)))+((1/5)+(1/(2019)))+...+((1/(2019))+(1/5))+((1/(2021))+(1/3))+((1/(2023))+1)] =(1/(2024))[2p]=(p/(1012)) ⇒(P/Q)=1012 ✓](https://www.tinkutara.com/question/Q207680.png)
$${Q}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2024}}\left[\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2023}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2021}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2019}}\right)+…+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2019}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2021}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2023}}+\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2024}}\left[\mathrm{2}{p}\right]=\frac{{p}}{\mathrm{1012}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{P}}{{Q}}=\mathrm{1012}\:\checkmark \\ $$$$ \\ $$