Question Number 215884 by golsendro last updated on 20/Jan/25
$$\:\:\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{6x}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{5x}}\:=? \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$
Answered by oubiji last updated on 20/Jan/25
$$\:\:\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{6x}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{5x}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:={li}\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {{m}}\frac{\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} }}{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{cos}\:\mathrm{5}{x}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{5}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:= \\ $$$$\frac{−\mathrm{2}+\mathrm{18}}{\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}×\mathrm{1}+\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{17}} \\ $$
Commented by MathematicalUser2357 last updated on 21/Jan/25
$${In}\:{second}\:{line},\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} }}{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{cos}\:\mathrm{5}{x}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{5}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} }}=\frac{−\mathrm{2}+\mathrm{18}}{\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}×\mathrm{1}+\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{12}}}=\left(−\mathrm{2}+\mathrm{18}\right)\boldsymbol{\div}\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}×\mathrm{1}+\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{12}}\right)=\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{17}} \\ $$
Commented by khorshidi17 last updated on 22/Jan/25
$${solve} \\ $$$${K}={sin}^{\mathrm{2}} {x}×{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}×{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{4}{x} \\ $$$${max}\:{K}=? \\ $$