Question Number 216055 by efronzo1 last updated on 26/Jan/25
$$\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}−\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}}\:=? \\ $$
Answered by golsendro last updated on 27/Jan/25
$$\:\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}−\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}} \\ $$$$\:\:=\:\mathrm{8}.\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}−\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}} \\ $$$$\:\mathrm{Let}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=\:\mathrm{t}^{\mathrm{12}} \\ $$$$\:\:=\:\mathrm{8}\:\underset{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{12}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{t}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\:\:=\:\mathrm{8}\:\underset{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{11}} +\mathrm{t}^{\mathrm{10}} +…+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:=\:−\mathrm{8}.\left(\mathrm{12}\right)=\:−\mathrm{96} \\ $$