Question Number 216572 by Samuel12 last updated on 10/Feb/25
Answered by maths2 last updated on 11/Feb/25
![si α∉I⇒α=(a/b)∈IQ b a=1 on va montrer Que b∣a ⇒a^n −Σ_(k=0) ^(n−1) c_k a^k b^(n−k) =0 ⇒Σ_(k=0) ^(n−1) c_k a^k b^(n−k) =a^n ;b∣Σ_(k=0) ^(n−1) c_k a^k b^(n−k) ;car n−k≥1;∀k∈[0,n−1] ⇒b∣a^n comme a et b sont premier ⇒b∣a⇒α∈Z pour conclure R=IQ∪I α∈R⇔(α∈I ∨(α∈IQ⇒α∈Z)) 2 (√2)+(√3)=α⇒α^2 =5+2(√6)⇒(a^2 −5)^2 −24=0 a^4 −10a^2 +1=0;a est[racine de P(x)=x^4 −10x^2 +1 utilisant le lemme suffit de prouver Que est san Racine de Z a^4 −10a^2 =−1⇒a^2 (a^2 −10)=−1⇒a^2 =1&a^2 −10=−1 a^2 =1&a^2 =9 absurde α∈I (√2)+(√3)+(√5)=α (a−(√5))^2 =5+2(√6) a^2 −2a(√5)=2(√6) a^4 =(24+20a^2 )+4a(√5) (a^4 −20a^2 −24)^2 −80a^2 =0 mod (5)⇒a^4 −4≡0[5] a≡0,+_− 1;+_− 2[5]⇒a^4 ≡0,1;16[5] absurd a∉Z⇒a∈I](https://www.tinkutara.com/question/Q216580.png)
$${si}\:\alpha\notin{I}\Rightarrow\alpha=\frac{{a}}{{b}}\in{IQ}\:\:{b} {a}=\mathrm{1}\:{on}\:{va}\:{montrer}\:{Que}\:{b}\mid{a} \\ $$$$\Rightarrow{a}^{{n}} −\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{c}_{{k}} {a}^{{k}} {b}^{{n}−{k}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{c}_{{k}} {a}^{{k}} {b}^{{n}−{k}} ={a}^{{n}} ;{b}\mid\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{c}_{{k}} {a}^{{k}} {b}^{{n}−{k}} ;{car}\:{n}−{k}\geqslant\mathrm{1};\forall{k}\in\left[\mathrm{0},{n}−\mathrm{1}\right] \\ $$$$\Rightarrow{b}\mid{a}^{{n}} \:{comme}\:{a}\:{et}\:{b}\:{sont}\:{premier}\:\Rightarrow{b}\mid{a}\Rightarrow\alpha\in\mathbb{Z} \\ $$$${pour}\:{conclure}\:\mathbb{R}={IQ}\cup{I}\: \\ $$$$\alpha\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\left(\alpha\in{I}\:\vee\left(\alpha\in{IQ}\Rightarrow\alpha\in\mathbb{Z}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{2} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{3}}=\alpha\Rightarrow\alpha^{\mathrm{2}} =\mathrm{5}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\Rightarrow\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}=\mathrm{0} \\ $$$${a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{10}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{0};{a}\:{est}\left[{racine}\:{de}\:{P}\left({x}\right)={x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right. \\ $$$${utilisant}\:{le}\:{lemme} \\ $$$${suffit}\:{de}\:{prouver}\:{Que}\:{est}\:{san}\:{Racine}\:{de}\:\mathbb{Z} \\ $$$${a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{10}{a}^{\mathrm{2}} =−\mathrm{1}\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} \left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}\right)=−\mathrm{1}\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1\&}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}=−\mathrm{1} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1\&}{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{9}\:{absurde} \\ $$$$\alpha\in{I} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{5}}=\alpha \\ $$$$\left({a}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{5}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}\sqrt{\mathrm{5}}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}} \\ $$$${a}^{\mathrm{4}} =\left(\mathrm{24}+\mathrm{20}{a}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{4}{a}\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\left({a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{20}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{80}{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${mod}\:\left(\mathrm{5}\right)\Rightarrow{a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}\equiv\mathrm{0}\left[\mathrm{5}\right] \\ $$$${a}\equiv\mathrm{0},\underset{−} {+}\mathrm{1};\underset{−} {+}\mathrm{2}\left[\mathrm{5}\right]\Rightarrow{a}^{\mathrm{4}} \equiv\mathrm{0},\mathrm{1};\mathrm{16}\left[\mathrm{5}\right]\:{absurd} \\ $$$${a}\notin\mathbb{Z}\Rightarrow{a}\in{I} \\ $$$$ \\ $$