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Solve-x-1-x-2-x-1-x-2-2x-1-x-1-2x-1-x-1-

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Question Number 217887 by ArshadS last updated on 23/Mar/25
Solve : ((x+1)/(x−2))+((x−1)/(x+2))=((2x+1)/(x−1))+((2x−1)/(x+1))
$${Solve}\:: \\ $$$$\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}+\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 23/Mar/25
((x+1)/(x−2))−1+((x−1)/(x+2))−1+2=((2x+1)/(x−1))−2+((2x−1)/(x+1))−2+4 (3/(x−2))+((−3)/(x+2))=(3/(x−1))+((−3)/(x+1))+2 ((3(x+2)−3(x−2))/(x^2 −4))=((3(x+1)−3(x−1))/(x^2 −1))+2 ((3x+6−3x+6)/(x^2 −4))=((3x+3−3x+3+2x^2 −2)/(x^2 −1)) ((12)/(x^2 −4))=((4+2x^2 )/(x^2 −1)) let x^2 =y ((12)/(y−4))=((4+2y)/(y−1)) 4y−16+2y^2 −8y=12y−12 2y^2 −4y−16−12y+12=0 2y^2 −16y−4=0 y^2 −8y−2=0 y=((8±(√(64+8)))/2) =((8±6(√2))/2)=4±3(√2) x^2 =4±3(√2) x=±(√(4±3(√2)))
$$\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}−\mathrm{1}+\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}−\mathrm{1}+\mathrm{2}=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{2}+\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{2}+\mathrm{4} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}}{{x}−\mathrm{2}}+\frac{−\mathrm{3}}{{x}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3}}{{x}−\mathrm{1}}+\frac{−\mathrm{3}}{{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{2} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}\left({x}+\mathrm{2}\right)−\mathrm{3}\left({x}−\mathrm{2}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{3}\left({x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{3}\left({x}−\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\mathrm{2} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}{x}+\mathrm{6}−\mathrm{3}{x}+\mathrm{6}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{3}{x}+\mathrm{3}−\mathrm{3}{x}+\mathrm{3}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{12}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{4}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$${let}\:{x}^{\mathrm{2}} ={y} \\ $$$$\frac{\mathrm{12}}{{y}−\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{4}+\mathrm{2}{y}}{{y}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{4}{y}−\mathrm{16}+\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{y}=\mathrm{12}{y}−\mathrm{12} \\ $$$$\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{y}−\mathrm{16}−\mathrm{12}{y}+\mathrm{12}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{16}{y}−\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{y}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{8}\pm\sqrt{\mathrm{64}+\mathrm{8}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{8}\pm\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{4}\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\:{x}=\pm\sqrt{\mathrm{4}\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 23/Mar/25
Solve ((x+1)/(x−2))+((x−1)/(x+2))=((2x+1)/(x−1))+((2x−1)/(x+1)) ((x+1)/(x−2))+1+((x−1)/(x+2))+1=((2x+1)/(x−1))+1+((2x−1)/(x+1))+1 ((2x−1)/(x−2))+((2x+1)/(x+2))=((3x)/(x−1))+((3x)/(x+1)) (((2x−1)(x+2)+(2x+1)(x−2))/(x^2 −4))=((3x^2 +3x+3x^2 −3x)/(x^2 −1)) (((2x^2 −x+4x−2)+(2x^2 +x−4x−2))/(x^2 −4))=((6x^2 )/(x^2 −1)) ((4x^2 −4)/(x^2 −4))=((6x^2 )/(x^2 −1)) 4(x^2 −1)^2 =6x^2 (x^2 −4) let x^2 =y 2(y−1)^2 =3y(y−4) 2y^2 −4y+2=3y^2 −12y y^2 −8y−2=0 y=((8±(√(64+8)))/2) y=((8±6(√2))/2) x^2 =4±3(√2) x=±(√(4±3(√2)))
$${Solve} \\ $$$$\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}+\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}+\mathrm{1}+\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}+\mathrm{1}=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3}{x}}{{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}{x}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)+\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{4}{x}−\mathrm{2}\right)+\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{4}{x}−\mathrm{2}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{4}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\right) \\ $$$${let}\:{x}^{\mathrm{2}} ={y} \\ $$$$\mathrm{2}\left({y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}{y}\left({y}−\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{y}+\mathrm{2}=\mathrm{3}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{y} \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{y}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{8}\pm\sqrt{\mathrm{64}+\mathrm{8}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{8}\pm\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$${x}=\pm\sqrt{\mathrm{4}\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}}\: \\ $$

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