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a-3b-a-b-1-a-3b-1-a-b-3-4-a-b-

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Question Number 219113 by hardmath last updated on 19/Apr/25
((a + 3b)/(a + b−1)) + ((a + 3b−1)/(a + b−3)) = 4 ⇒ a + b = ?
$$\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{3}}\:=\:\mathrm{4}\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}\:=\:? \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 19/Apr/25
a+b is not unique,
$$\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{unique},\: \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 20/Apr/25
((a + 3b)/(a + b−1)) + ((a + 3b−1)/(a + b−3)) = 4 ⇒ a + b = ? ((a + 3b)/(a + b−1)) + ((a + 3b−1)/(a + b−3)) = 4 ((a + 3b)/(a + b−1))−3 + ((a + 3b−1)/(a + b−3))−1 = 0 ((−2a+3)/(a + b−1))+((2b+2)/(a + b−3))=0 ((2a−3)/(a + b−1))=((2b+2)/(a + b−3)) 2a^2 +2ab−6a−3a−3b+9=2ab+2b^2 −2b+2a+2b−2 2a^2 −9a−3b+9=2b^2 +2a−2 2a^2 −11a+9=2b^2 +3b−2 2a^2 −2a−9a+9=2b^2 +4b−b−2 2a(a−1)−9(a−1)=2b(b+2)−(b+2) (a−1)(2a−9)=(b+2)(2b−1) a=1⇒(b+2)(2b−1)=0 b=−2, (1/2) (a,b)=(1,−2),(1,(1/2)) b=−2⇒(a−1)(2a−9)=0 ⇒a=1,(9/2) (a,b)=(1,−2),((9/2),−2) a+b=1+(−2)=−1 a+b=1+(1/2)=(3/2) a+b=(9/2)+(−2)=(5/2)
$$\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{3}}\:=\:\mathrm{4}\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}\:=\:? \\ $$$$\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{3}}\:=\:\mathrm{4}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\:+\:\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{3}}−\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\frac{−\mathrm{2a}+\mathrm{3}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2b}+\mathrm{2}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{3}}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{2a}−\mathrm{3}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2b}+\mathrm{2}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2ab}−\mathrm{6a}−\mathrm{3a}−\mathrm{3b}+\mathrm{9}=\mathrm{2ab}+\mathrm{2b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2b}+\mathrm{2a}+\mathrm{2b}−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9a}−\mathrm{3b}+\mathrm{9}=\mathrm{2b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2a}−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{11a}+\mathrm{9}=\mathrm{2b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3b}−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}−\mathrm{9a}+\mathrm{9}=\mathrm{2b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4b}−\mathrm{b}−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2a}\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{9}\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2b}\left(\mathrm{b}+\mathrm{2}\right)−\left(\mathrm{b}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2a}−\mathrm{9}\right)=\left(\mathrm{b}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2b}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{1}\Rightarrow\left(\mathrm{b}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2b}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}=−\mathrm{2},\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\left(\mathrm{1},−\mathrm{2}\right),\left(\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{b}=−\mathrm{2}\Rightarrow\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2a}−\mathrm{9}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{1},\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\left(\mathrm{1},−\mathrm{2}\right),\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}},−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{1}+\left(−\mathrm{2}\right)=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}+\left(−\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 20/Apr/25
((a + 3b)/(a + b−1)) + ((a + 3b−1)/(a + b−3)) = 4 ⇒ a + b = ? ((a + 3b−1)/(a + b−3))=4−((a + 3b)/(a + b−1)) ((a + 3b−1)/(a + b−3))=((4a+4b−4−a−3b)/(a+b−1)) ((a + 3b−1)/(a + b−3))=((3a+b−4)/(a+b−1))=((2a−2b−3)/2) [∵(A/B)=(C/D)=((C−A)/(D−B))] ((a + 3b−1)/(a + b−3))=((3a+b−4)/(a+b−1))=((4a+4b−5)/(2a+2b−4)) [∵(A/B)=(C/D)=((A+C)/(B+D))] ((2a−2b−3)/2)−2=((4a+4b−5)/(2a+2b−4))−2 ((2a−2b−7)/2)=(3/(2a+2b−4)) ( 2(a−b)−7)( 2(a+b)−4 )=6
$$\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{3}}\:=\:\mathrm{4}\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}\:=\:? \\ $$$$\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{3}}=\mathrm{4}−\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{4a}+\mathrm{4b}−\mathrm{4}−\mathrm{a}−\mathrm{3b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{3a}+\mathrm{b}−\mathrm{4}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2a}−\mathrm{2b}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\left[\because\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}=\frac{\mathrm{C}−\mathrm{A}}{\mathrm{D}−\mathrm{B}}\right] \\ $$$$\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{3b}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}−\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{3a}+\mathrm{b}−\mathrm{4}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{4a}+\mathrm{4b}−\mathrm{5}}{\mathrm{2a}+\mathrm{2b}−\mathrm{4}}\:\:\left[\because\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{C}}{\mathrm{B}+\mathrm{D}}\right] \\ $$$$\frac{\mathrm{2a}−\mathrm{2b}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\mathrm{2}=\frac{\mathrm{4a}+\mathrm{4b}−\mathrm{5}}{\mathrm{2a}+\mathrm{2b}−\mathrm{4}}−\mathrm{2} \\ $$$$\frac{\mathrm{2a}−\mathrm{2b}−\mathrm{7}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2a}+\mathrm{2b}−\mathrm{4}} \\ $$$$\left(\:\mathrm{2}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)−\mathrm{7}\right)\left(\:\mathrm{2}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)−\mathrm{4}\:\right)=\mathrm{6} \\ $$
Answered by Frix last updated on 20/Apr/25
a=u−v∧b=u+v ((2(2u+v))/(2u−1))+((4u+2v−1)/(2u−3))=4 ⇒ u≠(1/2)∧u≠(3/2) ((2(v+1))/(2u−1))+2+((2v+5)/(2u−3))+2=4 8uv+14u−8v−11=0 v=−((14u−11)/(8(u−1))) ⇒ u≠1 a=(3/(8(u−1)))+u+(7/4) b=−(3/(8(u−1)))+u−(7/4) a+b=2u u∈C\{(1/2), 1, (3/2)}
$${a}={u}−{v}\wedge{b}={u}+{v} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{u}+{v}\right)}{\mathrm{2}{u}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{4}{u}+\mathrm{2}{v}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}{u}−\mathrm{3}}=\mathrm{4}\:\Rightarrow\:{u}\neq\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\wedge{u}\neq\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}\left({v}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}{u}−\mathrm{1}}+\mathrm{2}+\frac{\mathrm{2}{v}+\mathrm{5}}{\mathrm{2}{u}−\mathrm{3}}+\mathrm{2}=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{8}{uv}+\mathrm{14}{u}−\mathrm{8}{v}−\mathrm{11}=\mathrm{0} \\ $$$${v}=−\frac{\mathrm{14}{u}−\mathrm{11}}{\mathrm{8}\left({u}−\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\:{u}\neq\mathrm{1} \\ $$$${a}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}\left({u}−\mathrm{1}\right)}+{u}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}} \\ $$$${b}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}\left({u}−\mathrm{1}\right)}+{u}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}} \\ $$$${a}+{b}=\mathrm{2}{u} \\ $$$${u}\in\mathbb{C}\backslash\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{1},\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$

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