Question Number 219181 by hardmath last updated on 20/Apr/25
Answered by devdutt last updated on 20/Apr/25
$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{nk}+{n}^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{{k}^{\mathrm{2}} +\left({n}−{k}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:=\:\begin{cases}{\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}};\:{for}\:{odd}\:{n}}\\{\frac{{n}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}};\:{for}\:{even}\:{n}}\end{cases} \\ $$$$=\:\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{nk}+{n}^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\:\frac{{m}}{\mathrm{2}}+\frac{{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\:\frac{{m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{m}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{{p}} {\sum}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{nk}+{n}^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{{p}} {\sum}}\frac{{m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{m}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\:\frac{{p}\left({p}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+\frac{{p}\left({p}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{12}} \\ $$$$=\:\frac{{p}\left({p}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{7}\right)}{\mathrm{12}};\:{Answer} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by Nicholas666 last updated on 20/Apr/25
![S_p = Σ_(m=1) ^p Σ_(n=1) ^m Σ_(k=1) ^n (k^2 /(2k^2 −2nk+n^2 )). solution; [1] 2k^2 −2nk+n^2 =k^2 +(n−k)^2 [2] Σ_(k=1) ^n (k^2 /(k^2 + (n −k)^2 )) [3] j = n − k ⇒ k = n − j Σ_(j=0) ^(n−1) (((n − j)^2 )/((n − j)^2 +j^2 )) [4] let A = Σ_(k=1) ^n = (k^2 /(k^2 + (n−k)^2 )) 2A = Σ_(k=1) ^n ((k^2 /(k^2 +(n −k)^2 )) + (((n − k)^2 )/((n − k)^2 +k^2 ))) = Σ_(k=1) ^n 1 =n ⇒ A = (n/2) [5] Σ_(n=1) ^m (n/2)=(1/2)Σ_(n=1) ^m n=(1/2).((m(m+1)^2 )/2)=((m(m+1))/4) [6] S_p =Σ_(m=1) ^p ((m(m+1))/4)=(1/4)Σ_(m=1) ^p (m^2 +m)=(1/4)(Σ_(m=1) ^p m^2 +Σ_(m=1) ^p m) [7] Σ_(m=1) ^p m =((p(p+1))/2) Σ_(m=1) ^p m^2 =((p(p+1)(2p+1))/6) [8] S_p =(1/4)(((p(p+1)(2p+1))/6) + ((p(p+1))/2)) S_p =((p(p+1))/8)(((2p+1)/3) +1)= ((p(p+1))/8)(((2p+4)/3)) S_p = ((p(p+1).(2p+2))/(24)) =((p(p+1)(p+2))/(12)) final answer → ((p(p+1)(p+2))/(12)) ✓](https://www.tinkutara.com/question/Q219197.png)
$${S}_{{p}} =\:\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{{p}} {\sum}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{nk}+{n}^{\mathrm{2}} }. \\ $$$${solution}; \\ $$$$\left[\mathrm{1}\right]\:\:\:\:\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{nk}+{n}^{\mathrm{2}} ={k}^{\mathrm{2}} +\left({n}−{k}\overset{\mathrm{2}} {\right)} \\ $$$$\left[\mathrm{2}\right]\:\:\:\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{{k}^{\mathrm{2}} \:+\:\left({n}\:−{k}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left[\mathrm{3}\right]\:\:\:\:{j}\:=\:{n}\:−\:{k}\:\Rightarrow\:{k}\:=\:{n}\:−\:{j} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\:\frac{\left({n}\:−\:{j}\right)\:^{\mathrm{2}} }{\left({n}\:−\:{j}\right)^{\mathrm{2}} \:+{j}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left[\mathrm{4}\right]\:\:{let}\:{A}\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:=\:\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{{k}^{\mathrm{2}} +\:\left({n}−{k}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}{A}\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\left(\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{{k}^{\mathrm{2}} +\left({n}\:−{k}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\left({n}\:−\:{k}\right)^{\mathrm{2}} }{\left({n}\:−\:{k}\right)^{\mathrm{2}} +{k}^{\mathrm{2}} }\right)\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{1}\:={n}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:{A}\:=\:\frac{{n}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left[\mathrm{5}\right]\:\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{{n}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{n}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}=\frac{{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}}\:\:\:\: \\ $$$$\left[\mathrm{6}\right]\:\:{S}_{{p}} =\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{{p}} {\sum}}\frac{{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{{p}} {\sum}}\left({m}^{\mathrm{2}} +{m}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{{p}} {\sum}}{m}^{\mathrm{2}} +\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{{p}} {\sum}}{m}\right)\:\:\: \\ $$$$\left[\mathrm{7}\right]\:\:\:\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{{p}} {\sum}}{m}\:=\frac{{p}\left({p}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{{p}} {\sum}}{m}^{\mathrm{2}} =\frac{{p}\left({p}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$\left[\mathrm{8}\right]\:\:\:\:\:{S}_{{p}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{{p}\left({p}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\:+\:\frac{{p}\left({p}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{S}_{{p}} =\frac{{p}\left({p}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{8}}\left(\frac{\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+\mathrm{1}\right)=\:\frac{{p}\left({p}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{8}}\left(\frac{\mathrm{2}{p}+\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{S}_{{p}} =\:\frac{{p}\left({p}+\mathrm{1}\right).\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{24}}\:=\frac{{p}\left({p}+\mathrm{1}\right)\left({p}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{12}} \\ $$$$\:\:\:\:{final}\:{answer}\:\:\rightarrow\:\frac{{p}\left({p}+\mathrm{1}\right)\left({p}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{12}}\:\checkmark \\ $$
Answered by MrGaster last updated on 20/Apr/25
