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Question Number 219453 by Nicholas666 last updated on 25/Apr/25
∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ((x_1 +x_(2 ) +x_3 −x_4 )/(x_1 +x_2 +x_3 +x_4 )) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 )
$$ \\ $$$$\:\:\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \:\frac{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}\:} +{x}_{\mathrm{3}} −{x}_{\mathrm{4}} }{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{4}} }\:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by mr W last updated on 27/Apr/25
I=∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ( (x_4 /(x_1 +x_2 +x_3 +x_4 ))) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) =∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ( (x_1 /(x_1 +x_2 +x_3 +x_4 ))) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) =∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ( (x_2 /(x_1 +x_2 +x_3 +x_4 ))) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) =∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ( (x_3 /(x_1 +x_2 +x_3 +x_4 ))) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) 4I=∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ( ((x_1 +x_2 +x_3 +x_4 )/(x_1 +x_2 +x_3 +x_4 ))) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) = ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) ⇒I=(1/4) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ((x_1 +x_2 +x_3 −x_4 )/(x_1 +x_2 +x_3 +x_4 )) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) =∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) (1−((2x_4 )/(x_1 +x_2 +x_3 +x_4 ))) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) =∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) −2∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ((x_4 /(x_1 +x_2 +x_3 +x_4 ))) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) =∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) −(2/4)∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) =(1−(2/4))∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) ∫_1 ^( 2) dx_1 dx_2 dx_3 dx_(4 ) =(1−(2/4))(2−1)^4 =(1/2)
$${I}=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\:\frac{{x}_{\mathrm{4}} }{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{4}} }\right)\:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \\ $$$$\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\:\frac{{x}_{\mathrm{1}} }{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{4}} }\right)\:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \\ $$$$\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\:\frac{{x}_{\mathrm{2}} }{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{4}} }\right)\:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \\ $$$$\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\:\frac{{x}_{\mathrm{3}} }{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{4}} }\right)\:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \\ $$$$\mathrm{4}{I}=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\:\frac{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{4}} }{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{4}} }\right)\:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \\ $$$$\:\:\:\:=\:\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \:\:\:\: \\ $$$$\:\Rightarrow{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \: \\ $$$$ \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \frac{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} −{x}_{\mathrm{4}} }{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{4}} }\:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \: \\ $$$$=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{4}} }{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{4}} }\right)\:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \: \\ $$$$=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \:−\mathrm{2}\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\frac{{x}_{\mathrm{4}} }{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} +{x}_{\mathrm{4}} }\right)\:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \: \\ $$$$=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \:−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \:{dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \:\:\:\: \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}}\right)\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{1}} {dx}_{\mathrm{2}} {dx}_{\mathrm{3}} {dx}_{\mathrm{4}\:} \:\:\:\: \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}}\right)\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by Nicholas666 last updated on 26/Apr/25
thanks
$${thanks} \\ $$

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