Question Number 219465 by SdC355 last updated on 26/Apr/25
$${prove} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \:\:\sqrt{{r}^{\mathrm{2}} −{t}^{\mathrm{2}} }{e}^{−{pt}} \mathrm{d}{t}=\frac{−{r}\pi\boldsymbol{\mathrm{L}}_{\mathrm{1}} \left({rp}\right)+\pi{rI}_{\mathrm{1}} \left({up}\right)+\mathrm{2}\boldsymbol{{i}}{rK}_{\mathrm{1}} \left({rp}\right)}{\mathrm{2}{p}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{L}}_{\nu} \left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{Modified}\:\mathrm{Struve}\:\mathrm{function} \\ $$$${I}_{\nu} \left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{Modified}\:\mathrm{Bessel}\:\mathrm{function}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{First}\:\mathrm{kind} \\ $$$${K}_{\nu} \left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{Modified}\:\mathrm{Bessel}\:\mathrm{function}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{Second}\:\mathrm{kind} \\ $$