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prove-n-2-e-1-1-n-2-n-2-pi-e-e-

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Question Number 219658 by Nicholas666 last updated on 30/Apr/25
prove Π_(n=2) ^∞ e(1−(1/n^2 ))^n^2 = (π/(e(√e)))
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{prove} \\ $$$$\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\:{e}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\overset{{n}^{\mathrm{2}} } {\right)}=\:\frac{\pi}{{e}\sqrt{{e}}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by MrGaster last updated on 30/Apr/25
=exp(Σ_(n=2) ^∞ 1+n^2 ln(1−(1/n^2 ))) ln(1−(1/n^2 ))=−Σ_(k=1) ^∞ (1/(kn^(2k) )) Σ_(n=2) ^∞ n^2 ln(1−(1/n^2 ))=−Σ_(n=2) ^∞ Σ_(k=1) ^∞ (1/(kn^(2k−2) )) =−Σ_(k=1) ^∞ (1/k)(ζ(2k−2)−1) Σ_(k=1) ^∞ ((ζ(2k)−1)/k)=ln((π/( (√e)))) Σ_(n=2) ^∞ (1+n^2 ln(1−(1/n^2 )))=(3/2) exp(−(3/2))=(1/(e(√e))) Π_(n=2) ^∞ e(1−(1/n^2 ))^n^2 = (π/(e(√e)))
$$=\mathrm{exp}\left(\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{1}+{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)\right) \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)=−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{kn}^{\mathrm{2}{k}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)=−\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{kn}^{\mathrm{2}{k}−\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\left(\zeta\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\zeta\left(\mathrm{2}{k}\right)−\mathrm{1}}{{k}}=\mathrm{ln}\left(\frac{\pi}{\:\sqrt{{e}}}\right) \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\mathrm{1}+{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{exp}\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{e}\sqrt{{e}}} \\ $$$$\:\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}\:{e}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\overset{{n}^{\mathrm{2}} } {\right)}=\:\frac{\pi}{{e}\sqrt{{e}}} \\ $$
Answered by Wuji last updated on 30/Apr/25
Q_N = Π_(n=2) ^∞ e(1−(1/n^2 ))^n^2 ln(Q_N )=Σ_(n=2) ^N [1+n^2 ln(1−(1/n^2 ))] n^2 ln(1−(1/n^2 ))=n^2 [ln(n−1)+ln(n+1)−2ln(n)] Σ_(m=2) ^N (n^2 ln(n−1)), Σ_(n=2) ^N (n^2 ln(n+1)), Σ_(n=2) ^N (−2n^2 ln(n)) 2Σ_(k=1) ^(N−1) ln(k) =2ln((N−1)!) ln(Q_N )=2ln((N−1)!)−ln(2)−2Nln(N)+N^2 ln(((N+1)/N))+(N−1) consider stirling formula ln((N−1)!)=ln(Γ(N))=(N−(1/2))ln(N)−N+(1/2)ln(2π)+0(1) N^2 ln(1+(1/N))=N−(1/2)+0((1/N)) ln(Q_N )=ln(π)−(3/2)+0(1) Q_N →e^(ln(π)−(3/2)) =(π/e^(3/2) )=(π/( (√e^3 ))) =(π/(e(√e))) ∴ Π_(n=2) ^∞ e(1−(1/n^2 ))^n^2 =(π/(e(√e)))
$${Q}_{{N}} \:=\:\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}{e}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)^{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${ln}\left({Q}_{{N}} \right)=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{{N}} {\sum}}\left[\mathrm{1}+{n}^{\mathrm{2}} {ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)\right] \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} {ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)={n}^{\mathrm{2}} \left[{ln}\left({n}−\mathrm{1}\right)+{ln}\left({n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}{ln}\left({n}\right)\right] \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{2}} {\overset{{N}} {\sum}}\left({n}^{\mathrm{2}} {ln}\left({n}−\mathrm{1}\right)\right),\:\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{{N}} {\sum}}\left({n}^{\mathrm{2}} {ln}\left({n}+\mathrm{1}\right)\right),\:\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{{N}} {\sum}}\left(−\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} {ln}\left({n}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{2}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{N}−\mathrm{1}} {\sum}}{ln}\left({k}\right)\:=\mathrm{2}{ln}\left(\left({N}−\mathrm{1}\right)!\right) \\ $$$${ln}\left({Q}_{{N}} \right)=\mathrm{2}{ln}\left(\left({N}−\mathrm{1}\right)!\right)−{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{2}{Nln}\left({N}\right)+{N}^{\mathrm{2}} {ln}\left(\frac{{N}+\mathrm{1}}{{N}}\right)+\left({N}−\mathrm{1}\right) \\ $$$${consider}\:{stirling}\:{formula} \\ $$$${ln}\left(\left({N}−\mathrm{1}\right)!\right)={ln}\left(\Gamma\left({N}\right)\right)=\left({N}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right){ln}\left({N}\right)−{N}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{2}\pi\right)+\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$${N}^{\mathrm{2}} {ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{N}}\right)={N}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{0}\left(\frac{\mathrm{1}}{{N}}\right) \\ $$$${ln}\left({Q}_{{N}} \right)={ln}\left(\pi\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$${Q}_{{N}} \rightarrow{e}^{{ln}\left(\pi\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \:=\frac{\pi}{{e}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} }=\frac{\pi}{\:\sqrt{{e}^{\mathrm{3}} }}\:=\frac{\pi}{{e}\sqrt{{e}}} \\ $$$$\therefore\:\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\prod}}{e}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)^{{n}^{\mathrm{2}} } \:=\frac{\pi}{{e}\sqrt{{e}}} \\ $$

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