Question Number 219843 by hardmath last updated on 02/May/25
$$\mathrm{If}\:\:\:\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{Then}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{ab}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{ac}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{ad}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{bc}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{bd}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{cd}\right)^{\mathrm{3}} }\:\geqslant\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$