Question Number 220116 by SdC355 last updated on 06/May/25
$$\mathrm{evaluate} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \:\:\frac{{J}_{\nu} \left({z}\right){e}^{−{zt}} }{{z}^{\mathrm{2}} +\alpha^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{d}{z}\:,\:\alpha\in\mathbb{R}\backslash\left\{\mathrm{0}\right\} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \:\:\frac{{J}_{\nu} \left({z}\right){e}^{−{zt}} }{\left({z}+\boldsymbol{{i}}\alpha\right)\left({z}−\boldsymbol{{i}}\alpha\right)}\:\mathrm{d}{z}= \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\alpha\boldsymbol{{i}}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \:\:\:\frac{{J}_{\nu} \left({z}\right){e}^{−{zt}} }{{z}+\alpha\boldsymbol{{i}}}\:\mathrm{d}{z}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\alpha\boldsymbol{{i}}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \:\:\frac{{J}_{\nu} \left({z}\right){e}^{−{zt}} }{{z}−\alpha\boldsymbol{{i}}}\:\mathrm{d}{z} \\ $$$$….. \\ $$