Question Number 220674 by Nicholas666 last updated on 17/May/25
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int\int\int_{\:{E}\:} \:\:\frac{{z}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\:{y}^{\mathrm{2}} }}\:\:{dV} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{with}\:\mathrm{the}\:\mathrm{boundaries}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integration}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{region}\:{E}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{by};\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\bullet\:{x}^{\mathrm{2}} \:+\:{y}^{\mathrm{2}} +\:{z}^{\mathrm{2}} \:\leqslant\:\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\bullet\:{x}^{\mathrm{2}} \:+\:{y}^{\mathrm{2}} \:\geqslant\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\bullet\:{z}\:\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mr W last updated on 17/May/25
$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{4}−{z}^{\mathrm{2}} }} \frac{{z}^{\mathrm{2}} }{{r}}×\mathrm{2}\pi{rdrdz} \\ $$$$\:\:=\mathrm{2}\pi\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} {z}^{\mathrm{2}} \left(\sqrt{\mathrm{4}−{z}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}\right){dz} \\ $$$$\:\:=\mathrm{2}\pi\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$