Question Number 220863 by fantastic last updated on 20/May/25
$$\left(\mathrm{211}\right) \\ $$$$\:\: \\ $$$${Find}\:{the}\:{derivative}\:{of}\:\Delta{x},\:{where} \\ $$$$\Delta{x}=\begin{vmatrix}{{f}_{\mathrm{1}} \left({x}\right)}&{\phi_{\mathrm{1}} \left({x}\right)}&{\Psi_{\mathrm{1}} \left({x}\right)}\\{{f}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)}&{\phi_{\mathrm{2}} \left({x}\right)}&{\Psi_{\mathrm{2}} \left({x}\right)}\\{{f}_{\mathrm{3}} \left({x}\right)}&{\phi_{\mathrm{3}} \left({x}\right)}&{\Psi_{\mathrm{3}} \left({x}\right)}\end{vmatrix} \\ $$$${and}\:{f}_{\mathrm{1}} \left({x}\right)\:,{f}_{\mathrm{2}} \left({x}\right),\:{f}_{\mathrm{3}} \left({x}\right),\phi_{\mathrm{1}} \left({x}\right),\:{etc}.\:{are}\:{different}\:{functions}\:{of}\:{x}. \\ $$
Answered by SdC355 last updated on 20/May/25
$${f}_{\mathrm{1}} \left(\phi_{\mathrm{2}} \Psi_{\mathrm{3}} −\phi_{\mathrm{3}} \Psi_{\mathrm{2}} \right)−\phi_{\mathrm{1}} \left({f}_{\mathrm{2}} \Psi_{\mathrm{3}} −{f}_{\mathrm{3}} \Psi_{\mathrm{2}} \right)+\Psi_{\mathrm{1}} \left({f}_{\mathrm{2}} \phi_{\mathrm{3}} −\phi_{\mathrm{2}} {f}_{\mathrm{3}} \right) \\ $$$${f}_{\mathrm{1}} \phi_{\mathrm{2}} \Psi_{\mathrm{3}} −{f}_{\mathrm{1}} \phi_{\mathrm{3}} \Psi_{\mathrm{2}} −{f}_{\mathrm{2}} \phi_{\mathrm{1}} \Psi_{\mathrm{3}} +{f}_{\mathrm{3}} \phi_{\mathrm{1}} \Psi_{\mathrm{2}} +{f}_{\mathrm{2}} \phi_{\mathrm{3}} \Psi_{\mathrm{3}} −{f}_{\mathrm{3}} \phi_{\mathrm{2}} \Psi_{\mathrm{1}} \\ $$
Commented by SdC355 last updated on 20/May/25
$$…… \\ $$$$\frac{\mathrm{d}\:\:}{\mathrm{d}{x}}\left\{{f}\mathrm{g}\right\}={f}^{\left(\mathrm{1}\right)} \mathrm{g}+{f}\mathrm{g}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$