Question Number 221047 by universe last updated on 23/May/25
Answered by breniam last updated on 24/May/25
$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}{r}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}+\mathrm{1}} \left({k}−\mathrm{1}\right)}{\left({k}+\mathrm{1}\right)!}−\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}{r}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}+\mathrm{1}} \left({k}−\mathrm{1}\right)}{\left({k}+\mathrm{1}\right)!}\right)= \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(−\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{r}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{r}+\mathrm{1}\right)!}\right)=−\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{r}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{r}+\mathrm{1}\right)!}=−\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{r}\right)!}+\mathrm{2}\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{r}+\mathrm{1}\right)!}= \\ $$$$−\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{r}} }{{r}!}+\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{r}+\mathrm{1}\right)!}=−\underset{{r}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{r}} }{{r}!}+\mathrm{1}−\mathrm{1}+\underset{{r}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{r}+\mathrm{1}\right)!}= \\ $$$$−{e}^{−\mathrm{1}} +\frac{{e}^{\mathrm{1}} −{e}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}−=\frac{{e}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}{e}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$