Question Number 221153 by gregori last updated on 25/May/25
$$\:\:{f}\left({x}\right)=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{x}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{x}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{{x}} }\:+\:…\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4000}^{{x}} } \\ $$$$\:\:{f}\left(\mathrm{2}\right)\:+\:{f}\left(\mathrm{3}\right)\:+\:{f}\left(\mathrm{4}\right)+\:…\:=? \\ $$
Commented by Frix last updated on 25/May/25
$$\frac{\mathrm{3999}}{\mathrm{4000}} \\ $$
Answered by mr W last updated on 25/May/25
$$\underset{{x}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}{f}\left({x}\right)=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{4}} }+…\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{4}} }+…\right)+…+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4000}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4000}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4000}^{\mathrm{4}} }+…\right) \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{4000}} {\sum}}\left(\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{{n}} }\right) \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{4000}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)}\right)=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{4000}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right) \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+…+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3999}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4000}}\right) \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4000}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3999}}{\mathrm{4000}}\:\checkmark \\ $$