Question Number 221943 by hardmath last updated on 13/Jun/25
Answered by MrGaster last updated on 13/Jun/25
![Σ_(i=1) ^k i(k−i+(2/3))=Σ_(i=1) ^k (ki−i^2 +(2/3)i)=kΣ_(i=1) ^k i−Σ_(i=1) ^k i^2 +(2/3)Σ_(i=1) ^k i Σ_(i=1) ^k i=((k(k+1))/2),Σ_(i=1) ^k i^2 =((k(k+1)(2k+1))/6) k∙((k(k+1))/2)−((k(k+1)(2k+1))/6)+(2/3)∙((k(k+1))/2)=k(k+1)((k/2)−((2k+1)/6)+(1/3)) (k/2)−((2k+1)/6)+(3/1)=((3k−(2k−1)+2)/6)=((k+1)/6) k(k+1)∙((k+1)/6)=((k(k+1)^2 )/6) lim_(n→∞) Σ_(k=1) ^n [((k(k+1)^2 )/6)]^(−1) =lim_(n→∞) Σ_(k=1) ^n (6/(k(k+1)^2 )) (6/(k(k+1)^2 ))=6((1/k)−(1/(k+1))−(1/((k+1)^2 ))) Σ_(k=1) ^n (6/(k(k+1)^2 ))=6Σ_(i=1) ^n ((1/k)−(1/(k+1))−(1/((k+1)^2 )))=6[Σ_(k=1) ^n ((1/k)−(1/(k+1)))−Σ_(k=1) ^n (1/((k+1)^2 ))] Σ_(k=1) ^n ((1/k)−(1/(k+1)))=1−(1/(n+1)) Σ_(k=1) ^n (1/((k+1)^2 ))=Σ_(k=2) ^(n+1) (1/k^2 )=H_(n+1) ^((2)) −1,H_n ^((2)) =Σ_(k=1) ^n (1/k^2 ) 6[(1−(1/(n+1)))−(H_(n+1) ^((2)) −1)]=6[2−(1/(n+1))H_(n+1) ^((2)) ] lim_(n→∞) 6[2−(1/(n−1))H_(n+1) ^((2)) ]=6(2−lim_(n→∞) (1/(n+1))−lim_(n→∞) H_(n+1) ^((2)) ) lim_(n→∞) H_(n+1) ^((2)) =ζ(2)=(π^2 /6),lim_(n→∞) (1/(n+1))=0 6(2−(π^6 /6))=12−π^2](https://www.tinkutara.com/question/Q221956.png)
$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}{i}\left({k}−{i}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\left({ki}−{i}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{i}\right)={k}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}{i}−\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}{i}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}{i} \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}{i}=\frac{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}},\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}{i}^{\mathrm{2}} =\frac{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$${k}\centerdot\frac{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\centerdot\frac{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}={k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left(\frac{{k}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\frac{{k}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{3}{k}−\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}}{\mathrm{6}}=\frac{{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{6}} \\ $$$${k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\centerdot\frac{{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{6}}=\frac{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left[\frac{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right]^{−\mathrm{1}} =\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{6}}{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{6}}{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{6}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{6}}{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{6}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)=\mathrm{6}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\right)−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\right)=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }={H}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\left(\mathrm{2}\right)} −\mathrm{1},{H}_{{n}} ^{\left(\mathrm{2}\right)} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{6}\left[\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)−\left({H}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\left(\mathrm{2}\right)} −\mathrm{1}\right)\right]=\mathrm{6}\left[\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}{H}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\left(\mathrm{2}\right)} \right] \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}6}\left[\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}{H}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\left(\mathrm{2}\right)} \right]=\mathrm{6}\left(\mathrm{2}−\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}−\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{H}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\left(\mathrm{2}\right)} \right) \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{H}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\left(\mathrm{2}\right)} =\zeta\left(\mathrm{2}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}},\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{6}\left(\mathrm{2}−\frac{\pi^{\mathrm{6}} }{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{12}−\pi^{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by hardmath last updated on 14/Jun/25
$$\mathrm{cool}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$