Question Number 222685 by gabthemathguy25 last updated on 05/Jul/25
Answered by mr W last updated on 05/Jul/25
$$\mathrm{tan}\:\left({A}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{tan}\:{A}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\mathrm{tan}\:{A}}=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:{A}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\checkmark \\ $$
Commented by gabthemathguy25 last updated on 05/Jul/25
$${thanks}\:{sir} \\ $$
Answered by gregori last updated on 05/Jul/25
$$\:\mathrm{tan}\:{A}=\:\mathrm{tan}\:\left({B}+{C}+{D}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{tan}\:{B}+\mathrm{tan}\:\left({C}+{D}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:{B}.\mathrm{tan}\:\left({C}+{D}\right)}\: \\ $$$$\:\:\:=\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{21}}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{21}}}\right)} \\ $$$$\:\:=\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{20}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{20}}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}/\mathrm{4}}\:=\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$