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Maksimum-x-2-4x-1-x-2-1-

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Question Number 223230 by hardmath last updated on 18/Jul/25
Maksimum (((x^2 − 4x + 1)/(x^2 + 1))) = ?
$$\mathrm{Maksimum}\:\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4x}\:+\:\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}}\right)\:=\:? \\ $$
Answered by fantastic last updated on 18/Jul/25
Let f(x)=(((x^2 −4x+1)/(x^2 +1))) So f^′ (x)=((((x^2 +1)(d/dx)(x^2 −4x+1)−(x^2 −4x+1)(d/dx)(x^2 +1))/((x^2 +1)^2 ))) =(((x^2 +1)(2x−4)−(x^2 −4x+1)(2x))/((x^2 +1)^2 )) =((2x^3 −4x^2 +2x−4−2x^3 +8x^2 −2x)/((x^2 +1)^2 )) =((4x^2 −4)/(x^4 +2x^2 +1))...(i) And f^(′′) (x)=(d/dx)(4((((x^2 −1))/(x^4 +2x^2 +1)))) =4((((x^4 +2x^2 +1)(d/dx)(x^2 −1)−(x^2 −1)(d/dx)(x^4 +2x^2 +1))/((x^4 +2x^2 +1)^2 )) =4((((x^4 +2x^2 +1)(2x)−(x^2 −1)(4x^3 +4x))/((x^4 +2x^2 +1)^2 )) =4(((2x^5 +4x^3 +2x−4x^5 −4x^3 +4x^3 +4x)/((x^4 +2x^2 +1)^2 )) =4(((−2x^5 +4x^3 +6x)/((x^4 +2x^2 +1)^2 ))) =((−8x^5 +16x^3 +24x)/(x^8 +4x^6 +6x^4 +4x^2 +1))...(ii) Now for minimum or maximum value of f(x) f^′ (x)=0 So ((4x^2 −4)/(x^4 +2x^2 +1))=0 or 4x^2 −4=0 or x^2 −1=0 or x^2 =1 So x=±1 now plugging x=1 in ...(ii) ((−8(1)^5 +16(1)^3 +24×1)/(1^8 +4(1)^6 +6(1)^4 +4(1)^2 +1))=((32)/(16))=2>0 So minimum value of f(x)=f(1)=((1^2 −4×1+1)/(1^2 +1))=((−2)/2)=−1 when x=−1 f^(′′) (−1)=((−8(−1)^5 +16(−1)^3 +24(−1))/((−1)^8 +4(−1)^6 +6(−1)^4 +4(−1)^2 +1))=((8−40)/(16))=−2<0 So maximum value of f(x)=f(−1)=(((−1)^2 −4(−1)+1)/((−1)^2 +1))=(6/2)=3 determinant (((So maximun value of (((x^2 −4x+1)/(x^2 +1)))=3✓)))
$${Let}\:{f}\left({x}\right)=\left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right) \\ $$$${So}\:{f}^{'} \left({x}\right)=\left(\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\frac{{d}}{{dx}}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}\right)−\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}\right)\frac{{d}}{{dx}}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}\right)−\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{x}\right)}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}…\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$${And}\:{f}^{''} \left({x}\right)=\frac{{d}}{{dx}}\left(\mathrm{4}\left(\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{4}\left(\frac{\left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\frac{{d}}{{dx}}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\frac{{d}}{{dx}}\left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right. \\ $$$$=\mathrm{4}\left(\frac{\left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{x}\right)−\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{x}\right)}{\left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right. \\ $$$$=\mathrm{4}\left(\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{x}}{\left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right. \\ $$$$=\mathrm{4}\left(\frac{−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{x}}{\left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\frac{−\mathrm{8}{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{16}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{24}{x}}{{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{6}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}…\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$${Now}\:{for}\:{minimum}\:{or}\:{maximum}\:{value}\:{of}\:{f}\left({x}\right) \\ $$$${f}^{'} \left({x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${So}\:\frac{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{0} \\ $$$${or}\:\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$${or}\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${or}\:{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$${So}\:{x}=\pm\mathrm{1} \\ $$$${now}\:{plugging}\:{x}=\mathrm{1}\:{in}\:…\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:\frac{−\mathrm{8}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} +\mathrm{16}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{24}×\mathrm{1}}{\mathrm{1}^{\mathrm{8}} +\mathrm{4}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} +\mathrm{6}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{32}}{\mathrm{16}}=\mathrm{2}>\mathrm{0} \\ $$$${So}\:{minimum}\:{value}\:{of}\:{f}\left({x}\right)={f}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}×\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{1} \\ $$$${when}\:{x}=−\mathrm{1} \\ $$$${f}^{''} \left(−\mathrm{1}\right)=\frac{−\mathrm{8}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} +\mathrm{16}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{24}\left(−\mathrm{1}\right)}{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{8}} +\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} +\mathrm{6}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{8}−\mathrm{40}}{\mathrm{16}}=−\mathrm{2}<\mathrm{0} \\ $$$${So}\:{maximum}\:{value}\:{of}\:{f}\left({x}\right)={f}\left(−\mathrm{1}\right)=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{2}}=\mathrm{3} \\ $$$$\begin{array}{|c|}{{So}\:{maximun}\:{value}\:{of}\:\left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)=\mathrm{3}\checkmark}\\\hline\end{array} \\ $$
Commented by fantastic last updated on 18/Jul/25
Answered by mr W last updated on 18/Jul/25
x+(1/x)≥2(√(x×(1/x)))=2 for x>0 (equalty at x=1) x+(1/x)=−(−x+(1/(−x)))≤−2 for x<0 (equalty at x=−1) ((x^2 −4x+1)/(x^2 +1)) =1−((4x)/(x^2 +1)) =1−(4/(x+(1/x)))≥1−(4/2)=−1 =min =1−(4/(x+(1/x)))≤1−(4/(−2))=3 =max ✓
$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\geqslant\mathrm{2}\sqrt{{x}×\frac{\mathrm{1}}{{x}}}=\mathrm{2}\:{for}\:{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\left({equalty}\:{at}\:{x}=\mathrm{1}\right) \\ $$$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=−\left(−{x}+\frac{\mathrm{1}}{−{x}}\right)\leqslant−\mathrm{2}\:{for}\:{x}<\mathrm{0} \\ $$$$\left({equalty}\:{at}\:{x}=−\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4}}{{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}\geqslant\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{1}\:={min} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4}}{{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}\leqslant\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4}}{−\mathrm{2}}=\mathrm{3}\:={max}\:\checkmark \\ $$
Commented by hardmath last updated on 22/Jul/25
thankyou dear professors
$$\mathrm{thankyou}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professors} \\ $$
Answered by gregori last updated on 19/Jul/25
y=((x^2 −4x+1)/(x^2 +1)) ⇒x^2 y+y−x^2 +4x−1=0 (y−1)x^2 +4x+y−1=0 ⇒16−4(y−1)(y−1)≥ 0 ⇒ (y−1)^2 −4 ≤ 0 −2 ≤y−1≤2 −1≤ y ≤ 3
$$\:{y}=\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} {y}+{y}−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left({y}−\mathrm{1}\right){x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+{y}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\Rightarrow\mathrm{16}−\mathrm{4}\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}−\mathrm{1}\right)\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\Rightarrow\:\left({y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:−\mathrm{2}\:\leqslant{y}−\mathrm{1}\leqslant\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:−\mathrm{1}\leqslant\:{y}\:\leqslant\:\mathrm{3}\: \\ $$

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