Question Number 223933 by MathematicalUser2357 last updated on 10/Aug/25
$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left({x}+\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dx} \\ $$
Answered by Tawa11 last updated on 10/Aug/25
$$\mathrm{Note}:\:\:\:\:\mathrm{I}\left(\mathrm{a}\right)\:\:=\:\:\int_{\:\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}\:\:+\:\:\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{1}\:\:+\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:\:\:=\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{tan}^{−\:\mathrm{1}} \left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}\:\:+\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\: \\ $$$$\mathrm{In}\:\mathrm{our}\:\mathrm{case}:\:\:\:\:\:\mathrm{a}\:\:=\:\:\mathrm{1} \\ $$$$\therefore\:\:\:\:\int_{\:\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\:\:+\:\:\mathrm{1}\right.}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:+\:\:\mathrm{1}}\:\mathrm{dx}\:\:\:=\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{tan}^{−\:\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}\:\:+\:\:\mathrm{1}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\therefore\:\:\:\:\int_{\:\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\:\:+\:\:\mathrm{1}\right.}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:+\:\:\mathrm{1}}\:\mathrm{dx}\:\:\:=\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:.\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}\:\:+\:\:\mathrm{1}\right) \\ $$$$\therefore\:\:\:\:\int_{\:\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\:\:+\:\:\mathrm{1}\right.}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:+\:\:\mathrm{1}}\:\mathrm{dx}\:\:\:=\:\:\:\frac{\pi}{\mathrm{8}}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$