Question Number 224320 by Tawa11 last updated on 02/Sep/25
Answered by mr W last updated on 02/Sep/25
Commented by mr W last updated on 02/Sep/25
$$\mathrm{cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}×\mathrm{10}×\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{25}} \\ $$$${z}=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\alpha}=\frac{\mathrm{9}×\mathrm{10}×\mathrm{5}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{225}}{\mathrm{22}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\beta=\frac{\mathrm{9}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}×\mathrm{9}×\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{15}} \\ $$$$\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}^{\mathrm{2}} +{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}×\mathrm{10}{z}\:\mathrm{cos}\:\beta \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{10}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{225}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{22}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}×\mathrm{10}×\frac{\mathrm{225}}{\mathrm{22}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{15}} \\ $$$$\Rightarrow{x}+{y}=\frac{\mathrm{325}}{\mathrm{22}} \\ $$$${y}\left({x}+{y}\right)={z}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{y}=\frac{\mathrm{225}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{22}}{\mathrm{22}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{325}}=\frac{\mathrm{2025}}{\mathrm{285}} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{325}}{\mathrm{22}}−\frac{\mathrm{2025}}{\mathrm{285}}=\frac{\mathrm{100}}{\mathrm{13}}=\frac{{m}}{{n}} \\ $$$$\Rightarrow{m}+{n}=\mathrm{100}+\mathrm{13}=\mathrm{113} \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 03/Sep/25
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{sir}. \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{appreciate}. \\ $$