Question Number 224591 by Jyrgen last updated on 22/Sep/25
$$\mathrm{p}\:{is}\:{a}\:{prime}\:{number} \\ $$$${prove}\:{that}\:{if}\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}\:{is}\:{prime}\:\Rightarrow \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:{p}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}\:{is}\:{also}\:{prime} \\ $$
Answered by Ghisom_ last updated on 22/Sep/25
$$\mathrm{for}\:{n}\in\mathbb{N}: \\ $$$${n}=\mathrm{3}{k}\:\Rightarrow\:\mathrm{3}\mid{n}^{\mathrm{2}} \\ $$$${n}=\mathrm{3}{k}\pm\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{n}^{\mathrm{2}} \equiv\mathrm{1}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$ \\ $$$${p}=\mathrm{3}{k}\:\Rightarrow\:{k}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{p}=\mathrm{3}\:\Rightarrow\:{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}=\mathrm{17}\wedge{p}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}=\mathrm{31} \\ $$$${p}=\mathrm{3}{k}\pm\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{3}\mid\left({p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}\right) \\ $$$$ \\ $$$${p}\in{P}\wedge\left({p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}\right)\in{P}\:\Rightarrow\:{p}=\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\left({p}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}\right)\in{P} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{words}:\:\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{no}\:\mathrm{other}\:\mathrm{prime}\:{p}\:\mathrm{with} \\ $$$${p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}\:\mathrm{being}\:\mathrm{prime}\:\mathrm{than}\:{p}=\mathrm{3} \\ $$
Commented by Jyrgen last updated on 31/Oct/25
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