Question Number 224879 by fkwow344 last updated on 09/Oct/25
$$\mathrm{prove} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)}\:\underset{{k}} {\prod}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }}={e}^{\Upsilon_{\mathrm{0}} } \:,\: \\ $$$$\Upsilon_{\mathrm{0}} =\mathrm{0}.\mathrm{57721566490153286060}.. \\ $$
Answered by MrAjder last updated on 18/Oct/25
![(1):lim_(n→∞) (1/(lnp_n )) Π_(k=1 ) ^n (1/(1−(1/p_k )))=lim_(x→∞) (1/(ln x))Π_(q≤x) (1/(1−(1/p)))=e^γ =e^Υ_0 (2):Π_(k=1) ^n (1/(1−(1/p_k )))=Π_(k=1) ^n (p_k /(p_k −1))=(p_n /(p_n −1))∙(p_(n−1) /(p_(n−1) −1))…(2/1)=(p_n /(p_n −1))∙(p_(n−1) /(p_(n−1) −1))…(3/2)∙(2/1) ln(Π_(k=1) ^n (p_k /(p_k −1)))=Σ_(k=1) ^n ln((p_k /(p_k −1)))=Σ_(k=1) ^n [ln(p_k )−ln(p_k −1)] =Σ_(k=1) ^n ln(p_k )−Σ_(k=1) ^n ln(p_k −1)=ln(p_n !)−Σ_(k=1) ^n ln(p_k −1) lim_(n→∞) (1/(ln(p_n )))[ln(p_(n ) !)−Σ_(k=1) ^n ln(p_k −1)]=lim_(n→∞) ((ln(p_n !))/(ln(p_n )))−lim_(n→∞) ((Σ_(k=1) ^n ln(p_k −1))/(ln(p_n ))) =lim_(n→∞) ((ln(p_n !))/(ln(p_n )))−lim_(n→∞) ((Σ_(k=1) ^n ln(p_k ))/(ln(p_(n ) )))+lim_(n→∞) ((Σ_(k=1) ^n ln(1−(1/p_k )))/(ln(p_n ))) =lim_(n→∞) ((ln(p_n !)−Σ_(k=1) ^n ln(p_k ))/(ln(p_n )))+lim_(n→∞) ((Σ_(k=1) ^n ln(1−(1/p_k )))/(ln(p_n ))) =lim_(n→∞) ((ln(((p_n !)/(Π_(k=1) ^p p_k ))))/(ln(p_n )))+lim_(n→∞) ((Σ_(k=1) ^n ln(1−(1/p_k )))/(ln(p_n ))) =lim_(n→∞) ((ln(Π_(k=1) ^n (p_k /(p_k −1))))/(ln(p_n )))+lim_(n→∞) ((Σ_(k=1) ^n ln(1−(1/p_k )))/(ln(p_n ))) =lim_(n→∞) ((ln(Π_(k=1 ) ^n (1/(1−(1/p_k )))))/(ln(p_k )))+lim_(n→∞) ((Σ_(k=1) ^n ln(1−(1/p_k )))/(ln(p_n ))) =lim_(n→∞) ((ln(Π_(k=1) ^n (1/(1−(1/p_k ))))+Σ_(k=1) ^n ln(1−(1/p_k )))/(ln(p_n )))=lim_(n→∞) ((ln(Π_(k=1) ^n (1/(1−(1/p_k )))∙Π_(k=1) ^n (1−(1/p_k ))))/(ln(p_n )))=lim_(n→∞) ((ln(1))/(ln(p_n )))=0 ∴lim_(n→∞) (1/(ln(p_n )))ln(Π_(k=1) ^n (1/(1−(1/p_k ))))=γ lim _(n→∞) (1/(ln(p_n ))) Π_k (1/(1−(1/p_k )))=e^Υ_0](https://www.tinkutara.com/question/Q225154.png)
$$\left(\mathrm{1}\right):\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}{p}_{{n}} }\:\underset{{k}=\mathrm{1}\:} {\overset{{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }}=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\:{x}}\underset{{q}\leq{x}} {\prod}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}}}={e}^{\gamma} ={e}^{\Upsilon_{\mathrm{0}} } \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right):\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\frac{{p}_{{k}} }{{p}_{{k}} −\mathrm{1}}=\frac{{p}_{{n}} }{{p}_{{n}} −\mathrm{1}}\centerdot\frac{{p}_{{n}−\mathrm{1}} }{{p}_{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}}\ldots\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}}=\frac{{p}_{{n}} }{{p}_{{n}} −\mathrm{1}}\centerdot\frac{{p}_{{n}−\mathrm{1}} }{{p}_{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}}\ldots\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\frac{{p}_{{k}} }{{p}_{{k}} −\mathrm{1}}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\frac{{p}_{{k}} }{{p}_{{k}} −\mathrm{1}}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left[\mathrm{ln}\left({p}_{{k}} \right)−\mathrm{ln}\left({p}_{{k}} −\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left({p}_{{k}} \right)−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left({p}_{{k}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} !\right)−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left({p}_{{k}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)}\left[\mathrm{ln}\left({p}_{{n}\:} !\right)−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left({p}_{{k}} −\mathrm{1}\right)\right]=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} !\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)}−\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left({p}_{{k}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)} \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} !\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)}−\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left({p}_{{k}} \right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}\:} \right)}+\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)} \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} !\right)−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left({p}_{{k}} \right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)}+\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)} \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left(\frac{{p}_{{n}} !}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{p}} {\prod}}{p}_{{k}} }\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)}+\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)} \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\frac{{p}_{{k}} }{{p}_{{k}} −\mathrm{1}}\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)}+\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)} \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}\:} {\overset{{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }}\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{k}} \right)}+\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)} \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }}\right)+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }}\centerdot\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }\right)\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)}=\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)}\mathrm{ln}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }}\right)=\gamma \\ $$$$\mathrm{lim}\:_{{n}\rightarrow\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left({p}_{{n}} \right)}\:\underset{{k}} {\prod}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}_{{k}} }}={e}^{\Upsilon_{\mathrm{0}} } \: \\ $$