Question Number 224883 by fkwow344 last updated on 09/Oct/25
$$\int\:\mathrm{vol}\left({g}^{\:} \right)=\int_{\:{V}} \:\sqrt{\mathrm{det}\:\boldsymbol{\mathrm{g}}_{\mu\nu} }\:\mathrm{d}{x}^{\mathrm{1}} \wedge\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}} \wedge\mathrm{d}{x}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{parametric}\:\mathrm{Surface}\: \\ $$$$\overset{\rightarrow} {\mathcal{S}}\left({u},{v},{w}\right);\mathbb{R}^{\mathrm{3}} \rightarrow\mathbb{R}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\overset{\rightarrow} {\mathcal{S}}\left({r},\theta,\rho\right)\begin{cases}{{r}\mathrm{sin}\left(\theta\right)\mathrm{cos}\left(\rho\right)}\\{{r}\mathrm{sin}\left(\theta\right)\mathrm{sin}\left(\rho\right)}\\{{r}\mathrm{cos}\left(\theta\right)}\end{cases}\: \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{metric}\:\mathrm{tensor}\:\boldsymbol{\mathrm{g}}_{\mu\nu} =\begin{pmatrix}{\mathrm{g}_{\mathrm{11}} }&{\mathrm{g}_{\mathrm{12}} }&{\mathrm{g}_{\mathrm{13}} }\\{\mathrm{g}_{\mathrm{21}} }&{\mathrm{g}_{\mathrm{22}} }&{\mathrm{g}_{\mathrm{23}} }\\{\mathrm{g}_{\mathrm{31}} }&{\mathrm{g}_{\mathrm{32}} }&{\mathrm{g}_{\mathrm{33}} }\end{pmatrix} \\ $$$$\: \\ $$$$\mathrm{Describe}\:\mathrm{it}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{as}\:\mathrm{d}{s}^{\mathrm{2}} =\boldsymbol{\mathrm{g}}_{\mu\nu} \mathrm{d}{x}^{\mu} \mathrm{d}{x}^{\nu} \\ $$$$\mathrm{d}{s}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{d}{r}\:\:\mathrm{d}\theta\:\:\mathrm{d}\rho\right)\begin{pmatrix}{\mathrm{g}_{\mathrm{11}} }&{\mathrm{g}_{\mathrm{12}} }&{\mathrm{g}_{\mathrm{13}} }\\{\mathrm{g}_{\mathrm{21}} }&{\mathrm{g}_{\mathrm{22}} }&{\mathrm{g}_{\mathrm{23}} }\\{\mathrm{g}_{\mathrm{31}} }&{\mathrm{g}_{\mathrm{32}} }&{\mathrm{g}_{\mathrm{33}} }\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\mathrm{d}{r}}\\{\mathrm{d}\theta}\\{\mathrm{d}\rho}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{find}\:\mathrm{volume}\:{V}=\int\:\:\mathrm{vol}\left(\mathrm{g}\right) \\ $$