Question Number 225610 by Lara2440 last updated on 06/Nov/25
$$\mathrm{prove} \\ $$$$\mathrm{Gauss}\:\mathrm{curvature}\:{K}\:\mathrm{is}\:\mathrm{intrinsic}\:\mathrm{by}\:\mathrm{showing} \\ $$$${K}=\frac{\begin{vmatrix}{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{E}_{{vv}} +{F}_{{uv}} −{G}_{{uu}} }&{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{E}_{{u}} }&{{F}_{{u}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{E}_{{v}} }\\{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{F}_{{v}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{G}_{{u}} }&{\:\:\:{E}}&{\:\:\:\:\:\:{F}}\\{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{G}_{{v}} }&{\:\:\:{F}}&{\:\:\:\:\:{G}}\end{vmatrix}−\begin{vmatrix}{\:\:\:\:\mathrm{0}}&{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{E}_{{v}} }&{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{G}_{{u}} }\\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{E}_{{v}} }&{\:\:\:\:{E}}&{\:\:\:\:{F}}\\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{G}_{{v}} }&{\:\:\:\:\:{F}}&{\:\:\:{G}}\end{vmatrix}}{\left({EG}−{F}^{\:\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${E},{F},{G}\:\mathrm{is}\:\mathrm{First}\:\mathrm{Fundametal}\:\mathrm{form}\:\mathrm{of}\:\mathrm{metric}\:\mathrm{tensor}. \\ $$