Question-226173

Question Number 226173 by sonukgindia last updated on 22/Nov/25

Answered by A5T last updated on 22/Nov/25

x^(2013) +(2014−x)^(2013) ≡ x^(2013) +(−x)^(2013) ≡0(mod 2014) 1^(2013) +2^(2013) +3^(2013) ...+1006^(2013) =a 2013^(2013) +2012^(2013) +2011^(2013) +...+1008^(2013) =b a+b≡ 0(mod 2014) ⇒a+1007^(2013) +b ≡ 1007^(2013) (mod 2014) 2014=2×19×53; let p=1007^(2013) ⇒p≡1(mod 2); p≡0(mod 19) and p≡0 (mod 53) ⇒p=1007d≡1(mod 2) ⇒ d=2e+1 ⇒p=1007(2e+1)=2014e+1007 ⇒The remainder is 1007

$$\mathrm{x}^{\mathrm{2013}} +\left(\mathrm{2014}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2013}} \:\equiv\:\mathrm{x}^{\mathrm{2013}} +\left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2013}} \equiv\mathrm{0}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{2014}\right) \\ $$$$\mathrm{1}^{\mathrm{2013}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2013}} +\mathrm{3}^{\mathrm{2013}} …+\mathrm{1006}^{\mathrm{2013}} =\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{2013}^{\mathrm{2013}} +\mathrm{2012}^{\mathrm{2013}} +\mathrm{2011}^{\mathrm{2013}} +…+\mathrm{1008}^{\mathrm{2013}} =\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}\equiv\:\mathrm{0}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{2014}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{1007}^{\mathrm{2013}} +\mathrm{b}\:\equiv\:\mathrm{1007}^{\mathrm{2013}} \:\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{2014}\right) \\ $$$$\mathrm{2014}=\mathrm{2}×\mathrm{19}×\mathrm{53};\:\mathrm{let}\:\mathrm{p}=\mathrm{1007}^{\mathrm{2013}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}\equiv\mathrm{1}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{2}\right);\:\mathrm{p}\equiv\mathrm{0}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{19}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{p}\equiv\mathrm{0}\:\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{53}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}=\mathrm{1007d}\equiv\mathrm{1}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{d}=\mathrm{2e}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}=\mathrm{1007}\left(\mathrm{2e}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2014e}+\mathrm{1007} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{The}\:\mathrm{remainder}\:\mathrm{is}\:\mathrm{1007} \\ $$

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