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Find-n-1-1-n-2n-1-2-

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Question Number 226509 by hardmath last updated on 01/Dec/25
Find: Σ_(n=1) ^∞ (1/(n∙(2n + 1)^2 )) = ?
$$\mathrm{Find}:\:\:\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}\centerdot\left(\mathrm{2n}\:+\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:? \\ $$
Answered by mr W last updated on 01/Dec/25
(1/(n(2n+1)^2 ))=(A/n)+(B/(2n+1))+(C/((2n+1)^2 )) A(2n+1)^2 +Bn(2n+1)+Cn=1 (4A+2B)n^2 +(4A+B+C)n+A=1 ⇒A=1 ⇒4A+2B=0 ⇒B=−2 ⇒4A+B+C=0 ⇒C=−2 ⇒(1/(n(2n+1)^2 ))=(1/n)−(2/(2n+1))−(2/((2n+1)^2 )) Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )=(π^2 /6) Σ_(n=0) ^∞ (1/((2n+1)^2 ))+Σ_(n=1) ^∞ (1/((2n)^2 ))=(π^2 /6) 1+Σ_(n=1) ^∞ (1/((2n+1)^2 ))+(1/4)Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )=(π^2 /6) 1+Σ_(n=1) ^∞ (1/((2n+1)^2 ))+(1/4)×(π^2 /6)=(π^2 /6) ⇒Σ_(n=1) ^∞ (1/((2n+1)^2 ))=(3/4)×(π^2 /6)−1=(π^2 /8)−1 Σ_(n=1) ^∞ (1/n)−Σ_(n=1) ^∞ (2/(2n+1)) =2(Σ_(n=1) ^∞ (1/(2n))−Σ_(n=1) ^∞ (1/(2n+1))) =−2Σ_(n=0) ^∞ ((1/(2n+1))−(1/(2n)))+2 =−2(1−(1/2)+(1/3)−(1/4)+...)+2 =−2ln 2+2 Σ_(n=1) ^∞ (1/(n(2n+1)^2 )) =Σ_(n=1) ^∞ ((1/n)−(2/(2n+1)))−2Σ_(n=1) ^∞ (1/((2n+1)^2 )) =−2ln 2+2−2×((π^2 /8)−1) =4−2ln 2−(π^2 /4) ✓
$$\frac{\mathrm{1}}{{n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{{A}}{{n}}+\frac{{B}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}+\frac{{C}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${A}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +{Bn}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)+{Cn}=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{4}{A}+\mathrm{2}{B}\right){n}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{4}{A}+{B}+{C}\right){n}+{A}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{A}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4}{A}+\mathrm{2}{B}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{B}=−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4}{A}+{B}+{C}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{C}=−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{{n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{1}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{1}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{1}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=−\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\right)+\mathrm{2} \\ $$$$=−\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+…\right)+\mathrm{2} \\ $$$$=−\mathrm{2ln}\:\mathrm{2}+\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)−\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\mathrm{2ln}\:\mathrm{2}+\mathrm{2}−\mathrm{2}×\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{4}−\mathrm{2ln}\:\mathrm{2}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\:\checkmark \\ $$
Commented by hardmath last updated on 02/Dec/25
thankyou cool dear professor
$$\mathrm{thankyou}\:\mathrm{cool}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor} \\ $$
Answered by Tawa11 last updated on 02/Dec/25
Σ_(n = 1) ^∞ (1/(n(2n + 1)^2 )) = − Σ_(n = 1) ^∞ (1/n) ∫_( 0) ^( 1) x^(2n) ln(x) dx Σ_(n = 1) ^∞ (1/(n(2n + 1)^2 )) = ∫_( 0) ^( 1) − Σ_(n = 1) ^∞ (x^(2n) /n) ln(x) dx Σ_(n = 1) ^∞ (1/(n(2n + 1)^2 )) = ∫_( 0) ^( 1) ln(1 − x^2 ) ln(x) dx Σ_(n = 1) ^∞ (1/(n(2n + 1)^2 )) = 4 − 2 ln(2) − (π^2 /4)
$$\:\:\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}\:\:=\:\:\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{n}}\left(\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{n}}\:\:+\:\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:\:−\:\:\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}\:\:=\:\:\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{n}}}\:\int_{\:\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{n}}} \:\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)\:\boldsymbol{\mathrm{dx}} \\ $$$$\:\:\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}\:\:=\:\:\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{n}}\left(\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{n}}\:\:+\:\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:\:\int_{\:\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:−\:\:\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}\:\:=\:\:\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{n}}} }{\boldsymbol{\mathrm{n}}}\:\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)\:\boldsymbol{\mathrm{dx}} \\ $$$$\:\:\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}\:\:=\:\:\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{n}}\left(\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{n}}\:\:+\:\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:\:\int_{\:\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\mathrm{1}\:\:\:\:−\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \right)\:\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)\:\boldsymbol{\mathrm{dx}} \\ $$$$\:\:\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}\:\:=\:\:\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{n}}\left(\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{n}}\:\:+\:\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:\:\mathrm{4}\:\:\:\:−\:\:\:\:\mathrm{2}\:\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\mathrm{2}\right)\:\:\:\:−\:\:\:\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}} \\ $$

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