Question Number 226562 by thetpainghtun_111 last updated on 04/Dec/25
$$\mathrm{If}\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{y}\:{i}\:=\:\frac{\mathrm{a}\:+\:{i}}{\mathrm{a}\:−\:{i}}\:,\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{ay}\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{x}. \\ $$$$\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}{i}\right)\left(\mathrm{a}−{i}\right)=\mathrm{a}+{i} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{ax}\:−\:\mathrm{x}{i}\:+\:\mathrm{ay}{i}\:−\:\mathrm{y}{i}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{a}\:+\:{i} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{ax}\:+\:\mathrm{y}\right)\:+\:\left(\mathrm{ay}\:−\:\mathrm{x}\right){i}\:=\:\mathrm{a}\:+\:{i} \\ $$$$\:\:\mathrm{ay}\:−\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{ay}\:−\mathrm{1} \\ $$