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Question-226914

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Question Number 226914 by Estevao last updated on 18/Dec/25
Answered by breniam last updated on 19/Dec/25
We can concider it only for odd n, because real even root of negative number doesn′t exist. =lim_(n→∞) (((2n−2)!(2−2n)))^(1/(2n−1)) = =lim_(n→∞) (((2n−1)!))^(1/(2n−1)) ×(((2−2n)/(2n−1)))^(1/(2n−1)) lim_(n→∞) ((((2−2n)/(2n−1)) ))^(1/(2n−1)) =−lim_(n→∞) (((2n−2)/(2n−1)))^(1/(2n−1)) =−1 lim_(n→∞) (((2n−1)!))^(1/(2n−1)) =lim_(n→∞) ((n!))^(1/n) = lim_(n→∞) e^(ln(((n!))^(1/n) )) =e^(lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1) ^n ln(k)) lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1) ^n ln(k)=−lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1) ^n ln((1/k))=−lim_(n→∞) (1/n)lim_(A→0^+ ) Σ_(k=1) ^n ln((1/k)+A) f_n (A)=−(1/n)Σ_(k=1) ^n ln((1/k)+A) f(A)=−∫_A ^1 ln(x)dx=−∫_A ^1 x′ln(x)dx=Aln(A)+∫_A ^1 dx=Aln(A)+1−A By Riemman′s integral definition f_n →^(n→∞) f −ln(1+A) <−ln((1/2)+A)⇒−(1/2)ln(1+A)<−(1/2)ln((1/2)+A)⇒ −ln(1+A)<−(1/2)ln(1+A)−(1/2)ln((1/2)+A) f_2 (A)>f_1 (A) Let assume f_(n+1) (A)>f_n (A)(∗) f_(n+2) (A)=−(1/(n+2))Σ_(k=1) ^(n+2) ln((1/k)+A)=−((ln((1/(n+2))+A))/(n+2))−((n+1)/(n+2))×(1/(n+1))Σ_(k=1) ^(n+1) ln((1/k)+A)>^((∗)) −((ln((1/(n+2))+A))/(n+2))−((n+1)/(n+2))×(1/n)Σ_(k=1) ^n ((1/k)+A)= −ln((((1/(n+2))+A))^(1/(n+2)) )−(1−(1/(n+2)))×(1/n)Σ_(k=1) ^n ((1/k)+A)> −ln((((1/(n+2))+A))^(1/(n+2)) )−(1−(1/(n+1)))×(1/n)Σ_(k=1) ^n ((1/k)+A)= −ln((((1/(n+2))+A))^(1/(n+2)) )−(1/(n+1))Σ_(k=1) ^n ((1/k)+A)> −ln((((1/(n+1))+A))^(1/(n+1)) )−(1/(n+1))Σ_(k=1) ^n ((1/k)+A)= −(1/(n+1))Σ_(k=1) ^(n+1) ((1/k)+A) So by induction rule for all A∈(0,1) f_n (A) is decreasing. Thus, by monotonic convergence theorem, f_n ⇉^(n→∞) f So −lim_(n→∞) (1/n)lim_(A→0^+ ) Σ_(k=1) ^n ln((1/k)+A)=lim_(A→0^+ ) ∫_A ^1 ln(x)dx= lim_(A→0^+ ) Aln(A)+1−A=1 lim_(n→∞) ((n!))^(1/n) = e^1 =e =lim_(n→∞) (((2n−2)!(2−2n)))^(1/(2n−1)) =−e
$$\mathrm{We}\:\mathrm{can}\:\mathrm{concider}\:\mathrm{it}\:\mathrm{only}\:\mathrm{for}\:\mathrm{odd}\:{n},\:\mathrm{because} \\ $$$$\mathrm{real}\:\mathrm{even}\:\mathrm{root}\:\mathrm{of}\:\mathrm{negative}\:\mathrm{number}\:\mathrm{doesn}'\mathrm{t}\:\mathrm{exist}. \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt[{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}]{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}\right)!\left(\mathrm{2}−\mathrm{2}{n}\right)}= \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt[{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}]{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)!}×\sqrt[{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}]{\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2}{n}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt[{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}]{\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2}{n}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}\:}=−\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt[{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}]{\frac{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}}=−\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt[{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}]{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)!}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt[{{n}}]{{n}!}= \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{e}^{\mathrm{ln}\left(\sqrt[{{n}}]{{n}!}\right)} ={e}^{\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left({k}\right)} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left({k}\right)=−\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)=−\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{A}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}+{A}\right) \\ $$$${f}_{{n}} \left({A}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}+{A}\right) \\ $$$${f}\left({A}\right)=−\underset{{A}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\mathrm{ln}\left({x}\right)\mathrm{d}{x}=−\underset{{A}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}{x}'\mathrm{ln}\left({x}\right)\mathrm{d}{x}={A}\mathrm{ln}\left({A}\right)+\underset{{A}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\mathrm{d}{x}={A}\mathrm{ln}\left({A}\right)+\mathrm{1}−{A} \\ $$$$\mathrm{By}\:\mathrm{Riemman}'\mathrm{s}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{definition} \\ $$$${f}_{{n}} \overset{{n}\rightarrow\infty} {\rightarrow}{f} \\ $$$$−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{A}\right)\:<−\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+{A}\right)\Rightarrow−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{A}\right)<−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+{A}\right)\Rightarrow \\ $$$$−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{A}\right)<−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{A}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+{A}\right) \\ $$$${f}_{\mathrm{2}} \left({A}\right)>{f}_{\mathrm{1}} \left({A}\right) \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{assume}\:{f}_{{n}+\mathrm{1}} \left({A}\right)>{f}_{{n}} \left({A}\right)\left(\ast\right) \\ $$$${f}_{{n}+\mathrm{2}} \left({A}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{2}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}+{A}\right)=−\frac{\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}+{A}\right)}{{n}+\mathrm{2}}−\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}+{A}\right)\overset{\left(\ast\right)} {>} \\ $$$$−\frac{\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}+{A}\right)}{{n}+\mathrm{2}}−\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}+{A}\right)= \\ $$$$−\mathrm{ln}\left(\sqrt[{{n}+\mathrm{2}}]{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}+{A}}\right)−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}\right)×\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}+{A}\right)> \\ $$$$−\mathrm{ln}\left(\sqrt[{{n}+\mathrm{2}}]{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}+{A}}\right)−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)×\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}+{A}\right)= \\ $$$$−\mathrm{ln}\left(\sqrt[{{n}+\mathrm{2}}]{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}+{A}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}+{A}\right)> \\ $$$$−\mathrm{ln}\left(\sqrt[{{n}+\mathrm{1}}]{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}+{A}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}+{A}\right)= \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}+{A}\right) \\ $$$$\mathrm{So}\:\mathrm{by}\:\mathrm{induction}\:\mathrm{rule}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{A}\in\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right)\:{f}_{{n}} \left({A}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{decreasing}. \\ $$$$\mathrm{Thus},\:\mathrm{by}\:\mathrm{monotonic}\:\mathrm{convergence}\:\mathrm{theorem}, \\ $$$${f}_{{n}} \overset{{n}\rightarrow\infty} {\rightrightarrows}{f} \\ $$$$\mathrm{So}\: \\ $$$$−\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{A}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}+{A}\right)=\underset{{A}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\underset{{A}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\mathrm{ln}\left({x}\right)\mathrm{d}{x}= \\ $$$$\underset{{A}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}{A}\mathrm{ln}\left({A}\right)+\mathrm{1}−{A}=\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt[{{n}}]{{n}!}=\:{e}^{\mathrm{1}} ={e} \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt[{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}]{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}\right)!\left(\mathrm{2}−\mathrm{2}{n}\right)}=−{e} \\ $$$$ \\ $$$$\: \\ $$
Commented by Estevao last updated on 19/Dec/25
ummm dubt
$${ummm}\:{dubt} \\ $$
Commented by Ghisom_ last updated on 20/Dec/25
lim_(n→∞) ((n!))^(1/n) =∞ n!∼(n^n /e^n )(√(2πn)) ((n!))^(1/n) ∼(n/e)(2πn)^(1/(2n)) lim_(n→∞) (n/e)(2πn)^(1/(2n)) =(∞/e)×1=∞
$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\sqrt[{{n}}]{{n}!}\:=\infty \\ $$$${n}!\sim\frac{{n}^{{n}} }{\mathrm{e}^{{n}} }\sqrt{\mathrm{2}\pi{n}} \\ $$$$\sqrt[{{n}}]{{n}!}\sim\frac{{n}}{\mathrm{e}}\left(\mathrm{2}\pi{n}\right)^{\mathrm{1}/\left(\mathrm{2}{n}\right)} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{{n}}{\mathrm{e}}\left(\mathrm{2}\pi{n}\right)^{\mathrm{1}/\left(\mathrm{2}{n}\right)} \:=\frac{\infty}{\mathrm{e}}×\mathrm{1}=\infty \\ $$
Answered by Ghisom_ last updated on 19/Dec/25
(((n−1)!−n!))^(1/n) =((n!((1/n)−1)))^(1/n) =((n!))^(1/n) (((1/n)−1))^(1/n) lim_(n→∞) ((n!))^(1/n) =+∞ lim_(n→∞) ∣(((1/n)−1))^(1/n) ∣ =1 ⇒ limit doesn′t exist even if we consider n=2k+1 ⇒ lim_(n→∞) (((n−1)!−n!))^(1/n) =−lim_(n→∞) ((n!))^(1/n) ((1−(1/n)))^(1/n) =−∞
$$\sqrt[{{n}}]{\left({n}−\mathrm{1}\right)!−{n}!}=\sqrt[{{n}}]{{n}!\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\mathrm{1}\right)}=\sqrt[{{n}}]{{n}!}\sqrt[{{n}}]{\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt[{{n}}]{{n}!}\:=+\infty \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\mid\sqrt[{{n}}]{\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\mathrm{1}}\mid\:=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{limit}\:\mathrm{doesn}'\mathrm{t}\:\mathrm{exist} \\ $$$$\mathrm{even}\:\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{consider}\:{n}=\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt[{{n}}]{\left({n}−\mathrm{1}\right)!−{n}!}\:=−\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\sqrt[{{n}}]{{n}!}\sqrt[{{n}}]{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}}\:=−\infty \\ $$

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