Question Number 227238 by as_ last updated on 09/Jan/26
![Essaie de corriger sur la trigos Exercice 2 : 1-Montrons que : ∀x∈R, cos^6 x+sin^6 x=(1/8)(5+3cos4x) Soit x∈R, On a : cos^6 x+sin^6 x=(cos^2 x)^3 +(sin^2 x)^3 =(cos^2 x+sin^2 x)^3 −3(sin^2 x)(cos^2 x)(cos^2 x+sin^2 x) =1−3×(1/4)×2^2 .sin^2 x.cos^2 x =1−(3/4)(sin^2 2x) = 1−(3/8)(2sin^2 2x+1−1) =1−(3/8)(−cos4x+1) ⇒cos^6 x+sin^6 x=(1/8)(5+3cos4x). 2.Re^ solvons ]−π;π] l′e^ quation (E),puis repre^ sentons dans le cercle trigos les solutions: On a : (E): cos^6 x+sin^6 x=(3/8)((√3)sin4x−(8/3)) D′apres ce qui pre^ ce^ de, cos^6 x+sin^6 x=(3/8)((√3)sin4x−(8/3)) ⇒(1/8)(5+3cos4x)=(3/8)((√3)sin4x−(8/3)) ⇒cos4x−(√3)sin4x=1 ⇒cos ((π/3)+4x)=cos((π/3)) ⇒ { ((x_1 =((kπ)/2))),((x_2 =−(π/6)+((kπ)/2))) :} (k∈Z) determinant ((k,(−2),(−1),0,1,2),(x_1 ,(−π),(−(π/2)),0,(π/2),π),(x_2 ,(−((7π)/6)),(−((2π)/3)),(−(π/6)),(π/3),((5π)/6))) determinant ((( S_(]−π;π]) ={−(π/2);−((2π)/3);−(π/6);0;(π/3);(π/2);((5π)/6);π} ))) Exercice 18 Soient x,y∈I=[0;(π/2)]/sinx=(((√6)−(√2))/4) et cosy=((√3)/2) 1.Calcule basic (anti 0) : ((((√6)−(√2))/4))^2 =((2−(√3))/4) 2.On a : cos^2 x+sin^2 y=1⇒cosx=(√(1−sin^2 x)) car x∈I ie cosx=(((√6)+(√2))/4) 3.De me^ me siny=(√(1−cos^2 y)) ie siny=(1/2) il est evident que y=(π/6) 4. On a cos(x+y)=cosxcosy−sinxsiny =(((√6)+(√2))/4) .((√3)/2)−(((√6)−(√2))/4).(1/2) donc cos(x+y)=((√2)/2) on a alors cos(x+y)=((√2)/2) ⇒x+y=(π/4) ie x=(π/(12)) 5.Soit x∈R , sin^2 xcos^3 x=cosx(sin^2 x(1−sin^2 x)) ie sin^2 xcos^3 x=cosx(sin^2 x−sin^4 x) donc ∀x∈R , sin^2 xcos^3 x=cosx(sin^2 x(1−sin^2 x)) Exercice 14 1 Re^ solvons dans R l′e^ quation: 2t^2 +(√3)t−3=0 Δ=27⇒(√Δ)=3(√3) donc { ((t_1 =((−(√3)+3(√3))/(2(2))) )),((t_2 =((−(√3)−3(√3))/(2(2))) )) :} ⇒ { ((t_1 =((√3)/2))),((t_2 =−(√3))) :} d′ou^ determinant ((( S_R ={−(√3);((√3)/2)}))) 2.De^ terminons (r;ϕ)∈R_+ ×]0;2π[ /(√3)cosx+sin x=rcos(x−ϕ) : (√3)cosx+sin x=2(((√3)/2)cosx+(1/2)sinx) =2(cos((π/6))cosx+sin((π/6))sinx) ⇒(√3)cosx+sin x=2cos(x−(π/6)) donc (r;ϕ)=(2;(π/6)) 3.Re^ solvons dans ]0;2π] l′e^ quation (E) : (E):(2sin^2 x+(√3)sinx−3)( (√3)cosx+sin x−(√2))=0⇔2sin^2 x+(√3)sinx−3=0 ou (√3)cosx+sin x−(√2)=0 • 2sin^2 x+(√3)sinx−3=0 Posons t=sinx⇒2t^2 +(√3)t−3=0 i.e { ((t=((√3)/2))),((t=−(√3))) :}⇒sinx=((√3)/2) =sin((π/3)) donc { ((x_1 =(π/3)+2kπ )),((x_2 =(π/3)+2(k−1)π)) :}(k∈Z) determinant ((k,(−2),(−1),0,1,2),(x_1 ,(−((11π)/3)),(−((2π)/3)),(π/3),((8π)/3),((13π)/3)),(x_2 ,(−((14π)/3)),(−((8π)/3)),(−((2π)/3)),((4π)/3),((10π)/3))) determinant (((S_(]0;2π]) ={(π/3);((4π)/3)}))) • (√3)cosx+sin x−(√2)=0 ⇒cos(x−(π/6))=((√2)/2) =cos((π/4)) donc { ((x_1 =((5π)/(12))+2kπ)),((x_2 =−(π/(12))+2kπ)) :} (k∈Z) determinant ((k,(−2),(−1),0,1,2),(x_1 ,(−((43π)/(12))),(−((19π)/(12))),((5π)/(12)),((29π)/(12)),((53π)/(12))),(x_2 ,(−((49π)/(12))),(−((25π)/(12))),(−(π/(12))),((23π)/(12)),((47π)/(12)))) determinant (((S_(]0;2π]) ={((5π)/(12));((23π)/(12))}))) Exercice 39 Soit x∈]0;2π] 1.Montrons que A(x)=4cos2x On a: A(x)=((cos3x)/(cosx))+((sin3x)/(sinx)) = ((sinx(cosx.cos2x−sin2x.sinx)+cosx(sin2x.cosx+cos2x.sinx))/(cosx.sinx)) =((sinx.cosx.cos2x−sin^2 x.sin2x+cos^2 x.sin2x+cos2x.sinx.cosx)/(cosx.sinx)) =((sin2x cos2x−2sin2x.sin^2 x+2cos^2 x.sin2x+cos2x.sin2x)/(sin2x)) =cos2x−2sin^2 x+2cos^2 x+cos2x =2cos2x+2(cos^2 x−sin^2 x) ⇒A(x)=4cos2x 2.Re^ solvons A(x)=B(x) A(x)=B(x)⇔4cos2x=4(1−(√3)sin2x) ⇔cos2x+(√3)sin2x=1 ⇔cos(2x−(π/3))=(1/2) =cos ((π/3)) ⇒ { ((x_1 =(π/3)+kπ)),((x_2 =kπ)) :} (k∈Z) determinant ((k,(−2),(−1),0,1,2),(x_1 ,(−((5π)/3)),(−((2π)/3)),(π/3),((4π)/3),((7π)/3)),(x_2 ,(−2π),(−π),0,π,(2π))) determinant (((S_(]0;2π[) ={(π/3);π;((4π)/3)}))) Exercice 34 1. Montrons que (E_1 ) et (E_2 ) sont e^ quivalent Soit x∈[0;2π], on a : (E_1 ):sinx.cosx+cos^2 x=cos2x⇒sinx.cosx+cos^2 x=cos^2 x−sin^2 x ⇒sinx.cosx+sin^2 x=0 donc (E_1 )⇒(E_2 ). (E_2 ):sinx.cosx+sin^2 x=0⇒sinx.cosx=−sin^2 x ⇒ sinx.cosx+cos^2 x=cos^2 x−sin^2 x donc (E_2 )⇒(E_1 ). Conclusion: (E_1 )⇔(E_2 ) 2.Re^ solvons dans [0;2π] l′e^ quation (E_1 ) : On a : (E_1 ):sinx.cosx+cos^2 x=cos2x ⇔ sinx(cosx+sinx)=0 ⇔ sinx.cos(x−(π/4))=0 ⇔ sinx=0 ou cos(x−(π/4))=0 •sinx=0⇒x_1 =2kπ (k∈Z) •cos(x−(π/4))=0⇒ { ((x_2 =((3π)/4)+2kπ)),((x_3 =−(π/4)+2kπ)) :} (k∈Z) determinant ((k,0,1,2),(x_1 ,0,(2π),(4π)),(x_2 ,(((3π)/4) ),((11π)/4),((19π)/4)),(x_3 ,(−(π/4)),((7π)/4),((15π)/4))) determinant (((S_(]0;2π[) ={0;((3π)/4);((7π)/4);((11π)/4);2π}))) Exercice 27 1.Re^ solvons dans [−π;π[ l′e^ quation (E): cos^2 2x=(1/2) On a : cos^2 2x=(1/2) ⇔cos2x=((√2)/2) ou cos2x=−((√2)/2) ⇔ { ((x_1 =(π/8)+kπ)),((x_2 =−(π/8)+kπ)) :} (k∈Z) ou { ((x_3 =((3π)/8)+kπ)),((x_4 =−((3π)/8)+kπ)) :}(k∈Z) determinant ((k,(−2),(−1),0,1,2),(x_1 ,(−((15π)/8)),(−((7π)/8)),(π/8),((9π)/8),((17π)/8)),(x_2 ,(−((17π)/8)),(−((9π)/8)),(−(π/8)),((7π)/8),((15π)/8)),(x_3 ,(−((13π)/8)),(−((5π)/8)),((3π)/8),((11π)/8),((19π)/8)),(x_4 ,(−((19π)/8)),(−((11π)/8)),(−((3π)/8)),((5π)/8),((13π)/8))) determinant ((( S_([−π;π[) ={−((7π)/8);−((5π)/8);−((3π)/8);−(π/8);(π/8);((3π)/8);((5π)/8);((7π)/8)} ))) 2](https://www.tinkutara.com/question/Q227238.png)
$$ \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{\boldsymbol{\mathrm{Essaie}}\:\boldsymbol{\mathrm{de}}\:\boldsymbol{\mathrm{corriger}}\:\boldsymbol{\mathrm{sur}}\:\boldsymbol{\mathrm{la}}\:\boldsymbol{\mathrm{trigos}}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{\boldsymbol{\mathrm{Exercice}}}\:\mathrm{2}\:: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{1}-\underline{\mathrm{Montrons}\:\mathrm{que}}\::\:\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R},\:\mathrm{cos}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{5}+\mathrm{3cos4x}\right)\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\mathrm{Soit}\:\mathrm{x}\in\mathbb{R},\:\:\mathrm{On}\:\mathrm{a}\::\: \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{cos}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}=\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} \: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}−\mathrm{3}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} .\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}+\mathrm{1}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\left(−\mathrm{cos4x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{cos}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{5}+\mathrm{3cos4x}\right).\:\:\:\: \\ $$$$\left.\:\left.\:\mathrm{2}.\underline{\mathrm{R}\acute {\mathrm{e}solvons}\:\:\right]−\pi;\pi\right]\:\mathrm{l}'\acute {\mathrm{e}quation}\:\left(\mathrm{E}\right),\mathrm{puis}\:\mathrm{repr}\acute {\mathrm{e}sentons}\:\mathrm{dans}\:\mathrm{le}\:\mathrm{cercle}\:\mathrm{trigos}\:\mathrm{les}\:\mathrm{solutions}:}\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:: \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{E}\right):\:\:\mathrm{cos}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin4x}−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\right)\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{D}'\mathrm{apres}\:\mathrm{ce}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{pr}\acute {\mathrm{e}c}\grave {\mathrm{e}de}, \\ $$$$\:\:\mathrm{cos}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin4x}−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\right)\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{5}+\mathrm{3cos4x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin4x}−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\right)\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{cos4x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin4x}=\mathrm{1}\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}+\mathrm{4x}\right)=\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =−\frac{\pi}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}}}\end{cases}\:\:\left(\mathrm{k}\in\mathbb{Z}\right)\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|c|c|}{\mathrm{k}}&\hline{−\mathrm{2}}&\hline{−\mathrm{1}}&\hline{\mathrm{0}}&\hline{\mathrm{1}}&\hline{\mathrm{2}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }&\hline{−\pi}&\hline{−\frac{\pi}{\mathrm{2}}}&\hline{\mathrm{0}}&\hline{\frac{\pi}{\mathrm{2}}}&\hline{\pi}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }&\hline{−\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{6}}}&\hline{−\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{−\frac{\pi}{\mathrm{6}}}&\hline{\frac{\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{6}}}\\\hline\end{array}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|}{\:\mathrm{S}_{\left.\right]\left.−\pi;\pi\right]} =\left\{−\frac{\pi}{\mathrm{2}};−\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}};−\frac{\pi}{\mathrm{6}};\mathrm{0};\frac{\pi}{\mathrm{3}};\frac{\pi}{\mathrm{2}};\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{6}};\pi\right\}\:}\\\hline\end{array}\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{\boldsymbol{\mathrm{Exercice}}}\:\mathrm{18} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{Soient}\:\mathrm{x},\mathrm{y}\in\mathrm{I}=\left[\mathrm{0};\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right]/\mathrm{sinx}=\frac{\sqrt{\mathrm{6}}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\:\mathrm{et}\:\mathrm{cosy}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{1}.\underline{\mathrm{Calcule}\:\mathrm{basic}\:\left(\mathrm{anti}\:\mathrm{0}\right)}\::\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{6}}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{2}.\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{cosx}=\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:\mathrm{car}\:\mathrm{x}\in\mathrm{I}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{ie}\:\mathrm{cosx}=\frac{\sqrt{\mathrm{6}}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\: \\ $$$$\:\:\mathrm{3}.\mathrm{De}\:\mathrm{m}\hat {\mathrm{e}me}\:\mathrm{siny}=\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}\:\:\mathrm{ie}\:\mathrm{siny}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{il}\:\mathrm{est}\:\mathrm{evident}\:\mathrm{que}\:\mathrm{y}=\frac{\pi}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:\mathrm{4}.\:\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{cosxcosy}−\mathrm{sinxsiny}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{6}}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\:.\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{6}}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\mathrm{donc}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\:\:\: \\ $$$$\:\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:\mathrm{alors}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:\mathrm{ie}\:\mathrm{x}=\frac{\pi}{\mathrm{12}}\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{5}.\mathrm{Soit}\:\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:,\:\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcos}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}=\mathrm{cosx}\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{ie}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcos}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}=\mathrm{cosx}\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{donc}\:\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:,\:\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcos}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}=\mathrm{cosx}\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{\boldsymbol{\mathrm{Exercice}}}\:\mathrm{14}\:\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{1} \underline{\mathrm{R}\acute {\mathrm{e}solvons}\:\mathrm{dans}\:\mathbb{R}\:\mathrm{l}'\acute {\mathrm{e}quation}}:\:\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{t}−\mathrm{3}=\mathrm{0}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\Delta=\mathrm{27}\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{donc}\:\begin{cases}{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\frac{−\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}\right)}\:}\\{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\frac{−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}\right)}\:}\end{cases}\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =−\sqrt{\mathrm{3}}}\end{cases}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{d}'\mathrm{o}\grave {\mathrm{u}}\:\:\:\:\begin{array}{|c|}{\:\mathrm{S}_{\mathbb{R}} =\left\{−\sqrt{\mathrm{3}};\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right\}}\\\hline\end{array} \\ $$$$\left.\:\:\:\mathrm{2}.\underline{\mathrm{D}\acute {\mathrm{e}terminons}\:\left(\mathrm{r};\varphi\right)\in\mathbb{R}_{+} ×\right]\mathrm{0};\mathrm{2}\pi\left[\:/\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cosx}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\mathrm{rcos}\left(\mathrm{x}−\varphi\right)}\::\right. \\ $$$$\:\:\:\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cosx}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\mathrm{2}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cosx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sinx}\right)\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left(\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)\mathrm{cosx}+\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)\mathrm{sinx}\right)\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cosx}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\mathrm{2cos}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{donc}\:\left(\mathrm{r};\varphi\right)=\left(\mathrm{2};\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)\: \\ $$$$\left.\:\left.\:\:\:\:\mathrm{3}.\underline{\mathrm{R}\acute {\mathrm{e}solvons}\:\mathrm{dans}\:\right]\mathrm{0};\mathrm{2}\pi\right]\:\mathrm{l}'\acute {\mathrm{e}quation}\:\left(\mathrm{E}\right)}\:: \\ $$$$\:\:\:\:\left(\mathrm{E}\right):\left(\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sinx}−\mathrm{3}\right)\left(\:\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cosx}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sinx}−\mathrm{3}=\mathrm{0}\:\mathrm{ou}\:\:\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cosx}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{2}}=\mathrm{0}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\bullet\:\underline{\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sinx}−\mathrm{3}=\mathrm{0}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\underline{\mathrm{Posons}}\:\mathrm{t}=\mathrm{sinx}\Rightarrow\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{t}−\mathrm{3}=\mathrm{0}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{i}.\mathrm{e}\:\begin{cases}{\mathrm{t}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{t}=−\sqrt{\mathrm{3}}}\end{cases}\Rightarrow\mathrm{sinx}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{donc}\:\begin{cases}{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\pi}{\mathrm{3}}+\mathrm{2k}\pi\:}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\pi}{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)\pi}\end{cases}\left(\mathrm{k}\in\mathbb{Z}\right)\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|c|c|}{\mathrm{k}}&\hline{−\mathrm{2}}&\hline{−\mathrm{1}}&\hline{\mathrm{0}}&\hline{\mathrm{1}}&\hline{\mathrm{2}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }&\hline{−\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{−\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{\frac{\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{\frac{\mathrm{8}\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{\frac{\mathrm{13}\pi}{\mathrm{3}}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }&\hline{−\frac{\mathrm{14}\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{−\frac{\mathrm{8}\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{−\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{\frac{\mathrm{10}\pi}{\mathrm{3}}}\\\hline\end{array}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|}{\mathrm{S}_{\left.\right]\left.\mathrm{0};\mathrm{2}\pi\right]} =\left\{\frac{\pi}{\mathrm{3}};\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{3}}\right\}}\\\hline\end{array}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\bullet\:\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cosx}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{2}}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\:\: \\ $$$$\:\:\mathrm{donc}\:\begin{cases}{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{12}}+\mathrm{2k}\pi}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =−\frac{\pi}{\mathrm{12}}+\mathrm{2k}\pi}\end{cases}\:\left(\mathrm{k}\in\mathbb{Z}\right)\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|c|c|}{\mathrm{k}}&\hline{−\mathrm{2}}&\hline{−\mathrm{1}}&\hline{\mathrm{0}}&\hline{\mathrm{1}}&\hline{\mathrm{2}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }&\hline{−\frac{\mathrm{43}\pi}{\mathrm{12}}}&\hline{−\frac{\mathrm{19}\pi}{\mathrm{12}}}&\hline{\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{12}}}&\hline{\frac{\mathrm{29}\pi}{\mathrm{12}}}&\hline{\frac{\mathrm{53}\pi}{\mathrm{12}}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }&\hline{−\frac{\mathrm{49}\pi}{\mathrm{12}}}&\hline{−\frac{\mathrm{25}\pi}{\mathrm{12}}}&\hline{−\frac{\pi}{\mathrm{12}}}&\hline{\frac{\mathrm{23}\pi}{\mathrm{12}}}&\hline{\frac{\mathrm{47}\pi}{\mathrm{12}}}\\\hline\end{array}\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|}{\mathrm{S}_{\left.\right]\left.\mathrm{0};\mathrm{2}\pi\right]} =\left\{\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{12}};\frac{\mathrm{23}\pi}{\mathrm{12}}\right\}}\\\hline\end{array}\:\: \\ $$$$\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{\boldsymbol{\mathrm{Exercice}}}\:\mathrm{39} \\ $$$$\left.\:\left.\:\:\:\:\:\mathrm{Soit}\:\mathrm{x}\in\right]\mathrm{0};\mathrm{2}\pi\right] \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{1}.\underline{\mathrm{Montrons}\:\mathrm{que}\:\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{4cos2x}}\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{On}\:\mathrm{a}:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{cos3x}}{\mathrm{cosx}}+\frac{\mathrm{sin3x}}{\mathrm{sinx}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{sinx}\left(\mathrm{cosx}.\mathrm{cos2x}−\mathrm{sin2x}.\mathrm{sinx}\right)+\mathrm{cosx}\left(\mathrm{sin2x}.\mathrm{cosx}+\mathrm{cos2x}.\mathrm{sinx}\right)}{\mathrm{cosx}.\mathrm{sinx}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx}.\mathrm{cos2x}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\mathrm{sin2x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\mathrm{sin2x}+\mathrm{cos2x}.\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx}}{\mathrm{cosx}.\mathrm{sinx}}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{sin2x} \mathrm{cos2x}−\mathrm{2sin2x}.\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\mathrm{sin2x}+\mathrm{cos2x}.\mathrm{sin2x}}{\mathrm{sin2x}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{cos2x}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{cos2x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2cos2x}+\mathrm{2}\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{4cos2x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}.\underline{\mathrm{R}\acute {\mathrm{e}solvons}}\:\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{B}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{B}\left(\mathrm{x}\right)\Leftrightarrow\mathrm{4cos2x}=\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin2x}\right)\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Leftrightarrow\mathrm{cos2x}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin2x}=\mathrm{1}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Leftrightarrow\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}−\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\pi}{\mathrm{3}}+\mathrm{k}\pi}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{k}\pi}\end{cases}\:\left(\mathrm{k}\in\mathbb{Z}\right)\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|c|c|}{\mathrm{k}}&\hline{−\mathrm{2}}&\hline{−\mathrm{1}}&\hline{\mathrm{0}}&\hline{\mathrm{1}}&\hline{\mathrm{2}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }&\hline{−\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{−\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{\frac{\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{3}}}&\hline{\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{3}}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }&\hline{−\mathrm{2}\pi}&\hline{−\pi}&\hline{\mathrm{0}}&\hline{\pi}&\hline{\mathrm{2}\pi}\\\hline\end{array}\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|}{\mathrm{S}_{\left.\right]\mathrm{0};\mathrm{2}\pi\left[\right.} =\left\{\frac{\pi}{\mathrm{3}};\pi;\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{3}}\right\}}\\\hline\end{array}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{\boldsymbol{\mathrm{Exercice}}}\:\mathrm{34}\: \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{1}.\:\underline{\mathrm{Montrons}\:\mathrm{que}\:\left(\mathrm{E}_{\mathrm{1}} \right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{E}_{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{sont}\:\acute {\mathrm{e}quivalent}}\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{Soit}\:\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0};\mathrm{2}\pi\right],\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:: \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{E}_{\mathrm{1}} \right):\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{cos2x}\Rightarrow\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{0}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{donc}\:\:\:\:\left(\mathrm{E}_{\mathrm{1}} \right)\Rightarrow\left(\mathrm{E}_{\mathrm{2}} \right).\: \\ $$$$\:\:\:\:\left(\mathrm{E}_{\mathrm{2}} \right):\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx}=−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{donc}\:\:\:\:\:\left(\mathrm{E}_{\mathrm{2}} \right)\Rightarrow\left(\mathrm{E}_{\mathrm{1}} \right).\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\underline{\mathrm{Conclusion}:}\:\left(\mathrm{E}_{\mathrm{1}} \right)\Leftrightarrow\left(\mathrm{E}_{\mathrm{2}} \right)\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}.\underline{\mathrm{R}\acute {\mathrm{e}solvons}\:\mathrm{dans}\:\left[\mathrm{0};\mathrm{2}\pi\right]\:\mathrm{l}'\acute {\mathrm{e}quation}\:\left(\mathrm{E}_{\mathrm{1}} \right)}\:: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{On}\:\mathrm{a}\::\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\left(\mathrm{E}_{\mathrm{1}} \right):\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{cos2x}\:\Leftrightarrow\:\mathrm{sinx}\left(\mathrm{cosx}+\mathrm{sinx}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Leftrightarrow\:\mathrm{sinx}.\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{0}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Leftrightarrow\:\mathrm{sinx}=\mathrm{0}\:\mathrm{ou}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\bullet\mathrm{sinx}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2k}\pi\:\:\:\left(\mathrm{k}\in\mathbb{Z}\right)\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\bullet\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{2k}\pi}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{3}} =−\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{2k}\pi}\end{cases}\:\:\left(\mathrm{k}\in\mathbb{Z}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|c|c|c|}{\mathrm{k}}&\hline{\mathrm{0}}&\hline{\mathrm{1}}&\hline{\mathrm{2}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }&\hline{\mathrm{0}}&\hline{\mathrm{2}\pi}&\hline{\mathrm{4}\pi}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }&\hline{\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{4}}\:}&\hline{\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{4}}}&\hline{\frac{\mathrm{19}\pi}{\mathrm{4}}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{3}} }&\hline{−\frac{\pi}{\mathrm{4}}}&\hline{\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{4}}}&\hline{\frac{\mathrm{15}\pi}{\mathrm{4}}}\\\hline\end{array}\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|}{\mathrm{S}_{\left.\right]\mathrm{0};\mathrm{2}\pi\left[\right.} =\left\{\mathrm{0};\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{4}};\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{4}};\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{4}};\mathrm{2}\pi\right\}}\\\hline\end{array}\: \\ $$$$\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{\boldsymbol{\mathrm{Exercice}}}\:\mathrm{27} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{1}.\underline{\mathrm{R}\acute {\mathrm{e}solvons}\:\mathrm{dans}\:\left[−\pi;\pi\left[\:\mathrm{l}'\acute {\mathrm{e}quation}\:\left(\mathrm{E}\right):}\:\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\right.\right. \\ $$$$\:\:\:\mathrm{On}\:\mathrm{a}\::\: \\ $$$$\:\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Leftrightarrow\mathrm{cos2x}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{ou}\:\mathrm{cos2x}=−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\pi}{\mathrm{8}}+\mathrm{k}\pi}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =−\frac{\pi}{\mathrm{8}}+\mathrm{k}\pi}\end{cases}\:\left(\mathrm{k}\in\mathbb{Z}\right)\:\:\:\:\:\mathrm{ou}\:\:\:\:\:\:\:\begin{cases}{\mathrm{x}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}}+\mathrm{k}\pi}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{4}} =−\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}}+\mathrm{k}\pi}\end{cases}\left(\mathrm{k}\in\mathbb{Z}\right)\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|c|c|c|c|}{\mathrm{k}}&\hline{−\mathrm{2}}&\hline{−\mathrm{1}}&\hline{\mathrm{0}}&\hline{\mathrm{1}}&\hline{\mathrm{2}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }&\hline{−\frac{\mathrm{15}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{−\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{\frac{\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{\frac{\mathrm{9}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{\frac{\mathrm{17}\pi}{\mathrm{8}}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }&\hline{−\frac{\mathrm{17}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{−\frac{\mathrm{9}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{−\frac{\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{\frac{\mathrm{15}\pi}{\mathrm{8}}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{3}} }&\hline{−\frac{\mathrm{13}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{−\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{\frac{\mathrm{19}\pi}{\mathrm{8}}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{4}} }&\hline{−\frac{\mathrm{19}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{−\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{−\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{8}}}&\hline{\frac{\mathrm{13}\pi}{\mathrm{8}}}\\\hline\end{array} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|}{\:\mathrm{S}_{\left[−\pi;\pi\left[\right.\right.} =\left\{−\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{8}};−\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{8}};−\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}};−\frac{\pi}{\mathrm{8}};\frac{\pi}{\mathrm{8}};\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}};\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{8}};\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{8}}\right\}\:}\\\hline\end{array} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2} \: \\ $$$$ \\ $$