Question Number 227326 by gregori last updated on 16/Jan/26
$$\:\:\:\mid\:{x}+\mathrm{1}\:\mid\:+\:\mid\:{x}\:\mid\:+\:\mid\:{x}−\mathrm{3}\mid\:>\:\mathrm{8}\:\: \\ $$
Answered by Kassista last updated on 16/Jan/26
$$ \\ $$$${if}\:{x}\geqslant\mathrm{3}: \\ $$$${x}+\mathrm{1}+{x}+{x}−\mathrm{3}>\mathrm{8}\:\Leftrightarrow\:\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}>\mathrm{8},\:\mathrm{3}{x}>\mathrm{10},\:{x}>\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}…\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$${if}\:\mathrm{0}\leqslant{x}<\mathrm{3}: \\ $$$${x}+\mathrm{1}+{x}+\mathrm{3}−{x}>\mathrm{8}\:\Leftrightarrow\:{x}+\mathrm{4}>\mathrm{8},\:{x}>\mathrm{4}\:\rightarrow\leftarrow\:\left({contradiction}\right) \\ $$$${if}\:\:−\mathrm{1}\leqslant{x}<\mathrm{0}: \\ $$$${x}+\mathrm{1}−{x}+\mathrm{3}−{x}>\mathrm{8}\:\Leftrightarrow\mathrm{4}−{x}>\mathrm{8},\:−{x}>\mathrm{4},\:{x}<−\mathrm{4}\:\rightarrow\leftarrow \\ $$$${if}\:{x}<−\mathrm{1} \\ $$$$−{x}−\mathrm{1}−{x}+\mathrm{3}−{x}>\mathrm{8}\Leftrightarrow\mathrm{2}−\mathrm{3}{x}>\mathrm{8},\:−\mathrm{3}{x}>\mathrm{6},\:{x}<−\mathrm{2}…\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\cup\left(\mathrm{2}\right)\:=\:{S}=\left\{{x}\in\mathbb{R}:\:{x}<−\mathrm{2}\:{or}\:{x}>\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}\right\} \\ $$