Question Number 227487 by Lara2440 last updated on 04/Feb/26
$$\mathrm{prove}\:\:\frac{\mathrm{d}\:\:\:}{\mathrm{d}{x}}\:{x}^{{n}} ={nx}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\epsilon>\mathrm{0}\:\mathrm{Exist}\:\delta>\mathrm{0}\:\:\mathrm{such}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\mathrm{0}<\mid{x}−\xi\mid<\delta\:\:\mathrm{Implies}\:\mid\frac{{f}\left({x}\right)−{f}\left(\xi\right)}{{x}−\xi}−{f}^{\left(\mathrm{1}\right)} \left(\xi\right)\mid<\epsilon \\ $$$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:{f}\left({x}\right)={x}^{{n}} \: \\ $$$$\forall\epsilon>\mathrm{0}\:,\:\exists\delta>\mathrm{0}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{0}<\mid{x}−\xi\mid<\delta\:\rightarrow\:\mid\frac{{x}^{{n}} −\xi^{{n}} }{{x}−\xi}−{n}\xi^{{n}−\mathrm{1}} \mid<\epsilon \\ $$$$\mathrm{help}\:\mathrm{me}…\:\::\left(\:\right. \\ $$