Question Number 145463 by puissant last updated on 05/Jul/21
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 05/Jul/21
![a) ∗f est absolument continue et notamment en x=10 : ((10)/k) = ((20−10)/k) ∗son integrale vaut 1 : ∫_0 ^(20) f(t)dt = 1 ∫_0 ^(10) f(t)dt+∫_(10) ^(20) f(t)dt = 1 ∫_0 ^(10) (t/k)dt+∫_(10) ^(20) ((20−t)/k)dt = 1 [(t^2 /(2k))]_0 ^(10) +[((20t−(t^2 /2))/k)]_(10) ^(20) = 1 ((50)/k)+((400−200−200+50)/k) = 1 k = 100 c) fonction de repartition F de X : p(0≤X≤x) = F(x) = ∫_0 ^x f(t)dt Si 0≤x≤ 10 : F(x) = [(t^2 /(2k))]_0 ^x = (x^2 /(200)) Si 10≤x≤ 20 : F(x) = [(t^2 /(2k))]_0 ^(10) +[((20t−(t^2 /2))/k)]_(10) ^x F(x) = (1/2)+(((20x−(x^2 /2))/(100)))−(((200−50)/(100))) F(x) = −(x^2 /(200))+(x/5)−1 F(x) = { (((x^2 /(200)), 0≤x≤10)),((−(x^2 /(200))+(x/5)−1, 10≤x≤20)) :} d) p(5≤x≤15) = F(15)−F(5) p(5≤x≤15) = (−((225)/(200))+((15)/5)−1)−(((25)/(200))) p(5≤x≤15) = (5/8) = 62,5% e) F est continue, notamment en 10 (car f est continue) et, a droite comme a gauche en 10 : F(10) = (1/2) Cette probabilite represente l′equiprobilite. f) Il y a 50% de chance que X ait une valeur inferieure a 10 et 50% de chance que X ait une valeur superieure a 10. La valeur 10 partitionne l′intervalle des valeurs de X en deux intervalles equiprobables. La valeur X = 10 est le valeur mediane.](https://www.tinkutara.com/question/Q145476.png)
$$\left.{a}\right)\: \\ $$$$\ast{f}\:{est}\:{absolument}\:{continue}\:\mathrm{et} \\ $$$$\mathrm{notamment}\:\mathrm{en}\:{x}=\mathrm{10}\::\:\frac{\mathrm{10}}{{k}}\:=\:\frac{\mathrm{20}−\mathrm{10}}{{k}} \\ $$$$\ast{son}\:{integrale}\:{vaut}\:\mathrm{1}\:: \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{20}} {f}\left({t}\right){dt}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{10}} {f}\left({t}\right){dt}+\int_{\mathrm{10}} ^{\mathrm{20}} {f}\left({t}\right){dt}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{10}} \frac{{t}}{{k}}{dt}+\int_{\mathrm{10}} ^{\mathrm{20}} \frac{\mathrm{20}−{t}}{{k}}{dt}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\left[\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{k}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{10}} +\left[\frac{\mathrm{20}{t}−\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}{{k}}\right]_{\mathrm{10}} ^{\mathrm{20}} \:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{50}}{{k}}+\frac{\mathrm{400}−\mathrm{200}−\mathrm{200}+\mathrm{50}}{{k}}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$${k}\:=\:\mathrm{100} \\ $$$$ \\ $$$$\left.{c}\right) \\ $$$${fonction}\:{de}\:{repartition}\:\mathrm{F}\:{de}\:\mathrm{X}\:: \\ $$$${p}\left(\mathrm{0}\leqslant\mathrm{X}\leqslant{x}\right)\:=\:\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} {f}\left({t}\right){dt} \\ $$$$\mathrm{Si}\:\mathrm{0}\leqslant{x}\leqslant\:\mathrm{10}\::\:\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\left[\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{k}}\right]_{\mathrm{0}} ^{{x}} \:=\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{200}} \\ $$$$\mathrm{Si}\:\mathrm{10}\leqslant{x}\leqslant\:\mathrm{20}\:: \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\left[\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{k}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{10}} +\left[\frac{\mathrm{20}{t}−\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}{{k}}\right]_{\mathrm{10}} ^{{x}} \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\left(\frac{\mathrm{20}{x}−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}{\mathrm{100}}\right)−\left(\frac{\mathrm{200}−\mathrm{50}}{\mathrm{100}}\right) \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{200}}+\frac{{x}}{\mathrm{5}}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\begin{cases}{\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{200}},\:\mathrm{0}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{10}}\\{−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{200}}+\frac{{x}}{\mathrm{5}}−\mathrm{1},\:\mathrm{10}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{20}}\end{cases} \\ $$$$\left.{d}\right) \\ $$$${p}\left(\mathrm{5}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{15}\right)\:=\:\mathrm{F}\left(\mathrm{15}\right)−\mathrm{F}\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$${p}\left(\mathrm{5}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{15}\right)\:=\:\left(−\frac{\mathrm{225}}{\mathrm{200}}+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{5}}−\mathrm{1}\right)−\left(\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{200}}\right) \\ $$$${p}\left(\mathrm{5}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{15}\right)\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}\:=\:\mathrm{62},\mathrm{5\%} \\ $$$$ \\ $$$$\left.{e}\right) \\ $$$$\mathrm{F}\:\mathrm{est}\:\mathrm{continue},\:\mathrm{notamment}\:\mathrm{en}\:\mathrm{10}\:\left(\mathrm{car}\right. \\ $$$$\left.{f}\:\mathrm{est}\:\mathrm{continue}\right)\:\mathrm{et},\:\mathrm{a}\:\mathrm{droite}\:\mathrm{comme}\:\mathrm{a}\: \\ $$$$\mathrm{gauche}\:\mathrm{en}\:\mathrm{10}\::\:\mathrm{F}\left(\mathrm{10}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Cette}\:\mathrm{probabilite}\:\mathrm{represente} \\ $$$$\mathrm{l}'\mathrm{equiprobilite}. \\ $$$$ \\ $$$$\left.{f}\right) \\ $$$$\mathrm{Il}\:\mathrm{y}\:\mathrm{a}\:\mathrm{50\%}\:\mathrm{de}\:\mathrm{chance}\:\mathrm{que}\:\mathrm{X}\:\mathrm{ait}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{valeur}\:\mathrm{inferieure}\:\mathrm{a}\:\mathrm{10}\:\mathrm{et}\:\mathrm{50\%}\:\mathrm{de}\:\mathrm{chance} \\ $$$$\mathrm{que}\:\mathrm{X}\:\mathrm{ait}\:\mathrm{une}\:\mathrm{valeur}\:\mathrm{superieure}\:\mathrm{a}\:\mathrm{10}. \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{valeur}\:\mathrm{10}\:\mathrm{partitionne}\:\mathrm{l}'\mathrm{intervalle} \\ $$$$\mathrm{des}\:\mathrm{valeurs}\:\mathrm{de}\:\mathrm{X}\:\mathrm{en}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{intervalles} \\ $$$$\mathrm{equiprobables}. \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{valeur}\:\mathrm{X}\:=\:\mathrm{10}\:\mathrm{est}\:\mathrm{le}\:\mathrm{valeur}\:\mathrm{mediane}. \\ $$
Commented by puissant last updated on 05/Jul/21
$$\mathrm{merci}\: \\ $$