Question Number 148498 by mathmax by abdo last updated on 28/Jul/21
$$\mathrm{find}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Jul/21
![Ψ=∫_0 ^∞ ((arctan(2x))/(1+x^2 ))dx let f(a)=∫_0 ^∞ ((arctan(ax))/(1+x^2 ))dx ⇒ f^′ (a)=∫_0 ^∞ (x/((1+a^2 x^2 )(x^2 +1)))dx =_(ax=y) ∫_0 ^∞ (y/(a(1+y^2 )((y^2 /a^2 ) +1)))(dy/a) =∫_0 ^∞ ((ydy)/((y^2 +1)(y^2 +a^2 )))=(1/(a^2 −1))∫_0 ^∞ y((1/(y^2 +1))−(1/(y^2 +a^2 )))dy =(1/(2(a^2 −1))){∫_0 ^∞ ((2ydy)/(y^2 +1))−∫_0 ^∞ ((2ydy)/(y^2 +a^2 ))} =(1/(2(a^2 −1))){log∣((y^2 +1)/(y^2 +a^2 ))∣]_0 ^(∞ ) =(1/(2(a^2 −1)))(−log((1/a^2 ))) =((2aloga)/(2(a^2 −1)))=((aloga)/(a^2 −1)) ⇒∫_0 ^2 f^′ (a)da =f(2)=∫_0 ^2 ((aloga)/(a^2 −1))da =(1/2)∫_0 ^2 ((1/(a−1))+(1/(a+1)))loga da =(1/2)∫_0 ^2 ((loga)/(a−1)) +(1/2)∫_0 ^2 ((loga)/(a+1))da we have ∫_0 ^2 ((loga)/(a−1))da =∫_0 ^1 ((loga)/(a−1))da +∫_1 ^2 ((loga)/(a−1))da(→a−1=t) =−∫_0 ^1 ((loga)/(1−a))da +∫_0 ^1 ((log(t+1))/t)dt but ∫_0 ^1 ((loga)/(1−a))da =∫_0 ^1 logaΣ_(n=0) ^∞ a^(n ) da =Σ_(n=0) ^∞ ∫_0 ^1 a^n logada and A_n =∫_0 ^1 a^n loga da =[(a^(n+1) /(n+1))loga]_0 ^1 −∫_0 ^1 (a^n /(n+1))da =−(1/((n+1)^2 )) ⇒ ∫_0 ^1 ((loga)/(1−a))da=−Σ_(n=0) ^∞ (1/((n+1)^2 ))=−(π^2 /6) log^′ (t+1)=(1/(1+t))=Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n t^n ⇒log(1+t)=Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(n+1))t^(n+1) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)t^n ⇒((log(t+1))/t)=Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)t^(n−1) ⇒ ∫_0 ^1 ((log(1+t))/t)dt =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)∫_0 ^1 t^(n−1) dt =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n^2 ) =(1−2^(1−2) )ξ(2)=(1/2).(π^2 /6)=(π^2 /(12)) ∫_0 ^2 ((loga)/(a+1))da =∫_0 ^1 ((loga)/(a+1))da +∫_1 ^2 ((loga)/(a+1))da =∫_0 ^1 logaΣ_(n=0) ^∞ (−a)^n +∫_1 ^2 ((loga)/(a+1))da....be clntinued...](https://www.tinkutara.com/question/Q148542.png)
$$\Psi=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{ax}=\mathrm{y}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)\left(\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{1}\right)}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{a}} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{ydy}}{\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{y}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{dy} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\left\{\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2ydy}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2ydy}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\left\{\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty\:} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\left(−\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\right)\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2aloga}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{aloga}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\mathrm{da}\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{aloga}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{da} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{loga}\:\mathrm{da} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{loga}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{loga}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}\mathrm{da}\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{loga}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\mathrm{da}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{loga}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\mathrm{da}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{loga}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\mathrm{da}\left(\rightarrow\mathrm{a}−\mathrm{1}=\mathrm{t}\right) \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{loga}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}}\mathrm{da}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{but} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{loga}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}}\mathrm{da}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{loga}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}^{\mathrm{n}\:} \mathrm{da} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{logada}\:\mathrm{and}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \mathrm{loga}\:\mathrm{da} \\ $$$$=\left[\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{loga}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{da}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{loga}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}}\mathrm{da}=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{log}^{'} \left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\mathrm{t}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} \right)\xi\left(\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{loga}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}\mathrm{da}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{loga}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}\mathrm{da}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{loga}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}\mathrm{da} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{loga}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{n}} \:+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{loga}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}\mathrm{da}….\mathrm{be}\:\mathrm{clntinued}… \\ $$
Commented by puissant last updated on 29/Jul/21
$$\mathrm{merci}\:\mathrm{monsieur}\:\mathrm{j}'\mathrm{apprecie}\:\mathrm{votre}\: \\ $$$$\mathrm{travail}..\:\mathrm{merci}\:\mathrm{beaucoup}\:\mathrm{prof}.. \\ $$