Question Number 159754 by cortano last updated on 20/Nov/21
$$\:\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{tan}\:{x}}\:+\:\sqrt{\mathrm{sin}\:{x}}\:−\mathrm{2}\sqrt{{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{sin}\:{x}}\:−\:\sqrt{\mathrm{tan}\:{x}}\:}\:=\:? \\ $$
Answered by bobhans last updated on 21/Nov/21
![lim_(x→0^+ ) (((√(tan x)) +(√(sin x))−2(√x))/( (√(sin x))−(√(tan x)))) = lim_(x→0^+ ) (((√(sin x))−(√(tan x)) +2(√(tan x))−2(√x))/( (√(sin x))−(√(tan x)))) = 1+2 lim_(x→0^+ ) (((√(tan x)) −(√x))/( (√(sin x))−(√(tan x)))) =1+2 lim_(x→0^+ ) ((tan x−x)/(sin x−tan x)) . (((√(sin x))+(√(tan x)))/( (√(tan x))+(√x))) = 1+2 [lim_(x→0^+ ) ((tan x−x)/x^3 ) .(x^3 /(sin x−tan x)) .(((√((sin x)/x))+(√((tan x)/x)))/( (√((tan x)/x))+1)) ] = 1+2 [ (1/3). (−2)]= 1−(4/3) = −(1/3)](https://www.tinkutara.com/question/Q159767.png)
$$\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}\:+\sqrt{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}}\: \\ $$$$\:\:\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}} \\ $$$$\:\:=\:\mathrm{1}+\mathrm{2}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}\:−\sqrt{\mathrm{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}}\: \\ $$$$\:\:=\mathrm{1}+\mathrm{2}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}\:.\:\frac{\sqrt{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}}} \\ $$$$\:=\:\mathrm{1}+\mathrm{2}\:\left[\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:.\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}\:.\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}}}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}}}+\mathrm{1}}\:\right] \\ $$$$\:=\:\mathrm{1}+\mathrm{2}\:\left[\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}.\:\left(−\mathrm{2}\right)\right]=\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$