Question Number 163223 by ZiYangLee last updated on 05/Jan/22
$$\mathrm{The}\:\mathrm{arc}\:\mathrm{of}\:\mathrm{parabola}\:{y}=−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}\:\mathrm{in}\:\mathrm{0}<{x}<\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{revolved}\:\mathrm{about}\:\mathrm{the}\:\mathrm{line}\:{y}={c}\:\mathrm{and}\:\mathrm{0}<{c}<\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{generate}\:\mathrm{a}\:\mathrm{solid}. \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:{c}\:\mathrm{that}\:\mathrm{minimizes}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{volume}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solid}. \\ $$
Answered by TheSupreme last updated on 05/Jan/22
![f(x)=−x^2 +9−c V=2π∫_(−3) ^3 f(x)^2 dx=2π∫_(−3) ^3 (9−c)^2 +x^4 −2x^2 (9−c)dx= =2π[6(9−c)^2 +2(3^5 /5)−2(3^3 /3)(9−c)] (∂V/∂c)=2π[−12(9−c)+12]=0 2π[−12∙9+12c+12]=0 12c=12∙8 c=8](https://www.tinkutara.com/question/Q163244.png)
$${f}\left({x}\right)=−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}−{c} \\ $$$${V}=\mathrm{2}\pi\int_{−\mathrm{3}} ^{\mathrm{3}} {f}\left({x}\right)^{\mathrm{2}} {dx}=\mathrm{2}\pi\int_{−\mathrm{3}} ^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{9}−{c}\right)^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{9}−{c}\right){dx}= \\ $$$$=\mathrm{2}\pi\left[\mathrm{6}\left(\mathrm{9}−{c}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{5}}−\mathrm{2}\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{9}−{c}\right)\right] \\ $$$$\frac{\partial{V}}{\partial{c}}=\mathrm{2}\pi\left[−\mathrm{12}\left(\mathrm{9}−{c}\right)+\mathrm{12}\right]=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}\pi\left[−\mathrm{12}\centerdot\mathrm{9}+\mathrm{12}{c}+\mathrm{12}\right]=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{12}{c}=\mathrm{12}\centerdot\mathrm{8} \\ $$$${c}=\mathrm{8} \\ $$