Question Number 106943 by hgrocks last updated on 08/Aug/20
Commented by hgrocks last updated on 08/Aug/20
Answered by 1549442205PVT last updated on 09/Aug/20
![Set a=α,b=β,c=γ.From the hypothesis we have: { ((a+b+c=5 (1))),((a^2 +b^2 +c^2 =19 (2))),((S=a^3 +b^3 +c^3 )) :} We have :ab+bc+ca= [(a+b+c)^2 −(a^2 +b^2 +c^2 )]/2=3 (3) S=a^3 +b^3 +c^3 =(a+b)^3 −3ab(a+b) +[5−(a+b)]^3 (4) From(1) and (3)we get ab+bc+ca=3 ⇔ab+(a+b)[5−(a+b)]=3 ⇒ab=(a+b)^2 −5(a+b)+3 Putting a+b=t we have: ab=t^2 −5t+3 (5).Therefore,from(4) we get S=t^3 −3t(t^2 −5t+3)+(5−t)^3 =t^3 −3t(t^2 −5t+3)+125−75t+15t^2 −t^3 =−3t^3 +30t^2 −84t+125 =3(5−t)[t^2 −5t+3)+80 =3(5−t)[(5−t)^2 −5(5−t)+3]+80 =3c(c^2 −5c+3)+80=3(c^3 −5c^2 +3c)+80(∗) Since three numbers are equal in role WLOG we can suppose that c≥0.Also, From (5)we have ab=(5−c)^2 −5(5−c)+3 =c^2 −5c+3 ⇒(a−b)^2 =(a+b)^2 −4ab =(5−c)^2 −4(c^2 −5c+3)=−3c^2 +10c+13≥0 ⇔−3(c−(5/3))^2 +((64)/3)≥0⇔(3c−5)^2 ≤64 ⇔∣3c−5∣≤8⇒3c−13≤0⇒0≤c≤((13)/3) (6) Set f(c)=c^3 −5c^2 +3c with c∈[0,((13)/3)]we have f ′(c)=3c^2 −10c+3 =0⇔c∈{(1/3);3} Then we have the variable table as: determinant ((x,0,,(1/3),,3,((13)/3)),((f ′(c)),3,(+↗),0,(−↘),↗,),((f(c)),0,,((13)/(27)),,(−9),((13)/(27)))) From tablet we see that f(c)_(max) =((13)/(27)) when c=(1/3)or c=((13)/(27)) Therefore,from (∗)we get S≤80+3.((13)/(27))=80((13)/9) Thus,S_(max) =80 ((13)/9) i)when c=(1/3),a+b=((14)/3) Combining to (5) we get ab=((13)/9) ⇒(a−b)^2 =(a+b)^2 −4ab=((196)/9)−4×((13)/9)=((144)/9) ⇒a−b=((12 )/3) (suppose a≥b) ⇒a=((13)/3),b=c=(1/3) ii)When c=((13)/3)⇒a+b=(2/3)⇒a=b=(1/3) ⇒S_(max) =80 if and only if (a,b,c)=(((13)/3),(1/3),(1/3))and all permutations of them Other way: S=3(c^3 −5c^2 +3c)+80(∗) =(1/9)(27c^3 −135c^2 +81c)+80 =(1/9){[(3c−1)^2 (3c−13)]+13}+80 =(1/9)[(3c−1)^2 (3c−13)]+80((13)/9) From the condition (6) we infer S=(1/9)[(3c−1)^2 (3c−13)]+80((13)/9) ≤80((13)/9) since (3c−1)^2 (3c−13)≤0 due to 3c≤13](https://www.tinkutara.com/question/Q106960.png)
$$\mathrm{Set}\:\mathrm{a}=\alpha,\mathrm{b}=\beta,\mathrm{c}=\gamma.\mathrm{From}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{hypothesis}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}:\begin{cases}{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{5}\:\left(\mathrm{1}\right)}\\{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{19}\:\left(\mathrm{2}\right)}\\{\mathrm{S}=\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} }\end{cases} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{have}\::\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}= \\ $$$$\left[\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)\right]/\mathrm{2}=\mathrm{3}\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{S}=\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} =\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3ab}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right) \\ $$$$+\left[\mathrm{5}−\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\right]^{\mathrm{3}} \:\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{3}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}=\mathrm{3} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{ab}+\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left[\mathrm{5}−\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\right]=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ab}=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)+\mathrm{3}\: \\ $$$$\mathrm{Putting}\:\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{t}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}: \\ $$$$\mathrm{ab}=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5t}+\mathrm{3}\:\left(\mathrm{5}\right).\mathrm{Therefore},\mathrm{from}\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{S}=\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5t}+\mathrm{3}\right)+\left(\mathrm{5}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$=\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5t}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{125}−\mathrm{75t}+\mathrm{15t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \\ $$$$=−\mathrm{3t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{30t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{84t}+\mathrm{125} \\ $$$$=\mathrm{3}\left(\mathrm{5}−\mathrm{t}\right)\left[\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5t}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{80} \\ $$$$=\mathrm{3}\left(\mathrm{5}−\mathrm{t}\right)\left[\left(\mathrm{5}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\left(\mathrm{5}−\mathrm{t}\right)+\mathrm{3}\right]+\mathrm{80} \\ $$$$=\mathrm{3c}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5c}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{80}=\mathrm{3}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3c}\right)+\mathrm{80}\left(\ast\right) \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{three}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{are}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{in}\:\mathrm{role} \\ $$$$\mathrm{WLOG}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{suppose}\:\mathrm{that}\:\mathrm{c}\geqslant\mathrm{0}.\mathrm{Also}, \\ $$$$\mathrm{From}\:\left(\mathrm{5}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ab}=\left(\mathrm{5}−\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\left(\mathrm{5}−\mathrm{c}\right)+\mathrm{3} \\ $$$$=\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5c}+\mathrm{3}\:\Rightarrow\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ab} \\ $$$$=\left(\mathrm{5}−\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5c}+\mathrm{3}\right)=−\mathrm{3c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10c}+\mathrm{13}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow−\mathrm{3}\left(\mathrm{c}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{64}}{\mathrm{3}}\geqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\left(\mathrm{3c}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{64} \\ $$$$\Leftrightarrow\mid\mathrm{3c}−\mathrm{5}\mid\leqslant\mathrm{8}\Rightarrow\mathrm{3c}−\mathrm{13}\leqslant\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{0}\leqslant\mathrm{c}\leqslant\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}}\:\left(\mathrm{6}\right) \\ $$$$\mathrm{Set}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3c}\:\mathrm{with}\:\mathrm{c}\in\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}}\right]\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{3c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10c}+\mathrm{3}\:=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{c}\in\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}};\mathrm{3}\right\} \\ $$$$\mathrm{Then}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{the}\:\:\mathrm{variable}\:\mathrm{table}\:\mathrm{as}: \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{x}}&{\mathrm{0}}&{}&{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}&{}&{\mathrm{3}}&{\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}}}\\{\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{c}\right)}&{\mathrm{3}}&{+\nearrow}&{\mathrm{0}}&{−\searrow}&{\nearrow}&{}\\{\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)}&{\mathrm{0}}&{}&{\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{27}}}&{}&{−\mathrm{9}}&{\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{27}}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{tablet}\:\mathrm{we}\:\mathrm{see}\:\mathrm{that}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)_{\mathrm{max}} =\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{27}} \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{or}\:\mathrm{c}=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{27}} \\ $$$$\mathrm{Therefore},\mathrm{from}\:\left(\ast\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{S}\leqslant\mathrm{80}+\mathrm{3}.\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{27}}=\mathrm{80}\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{S}_{\mathrm{max}} =\mathrm{80}\:\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{when}\:\mathrm{c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},\mathrm{a}+\mathrm{b}=\frac{\mathrm{14}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Combining}\:\mathrm{to}\:\left(\mathrm{5}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{ab}=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ab}=\frac{\mathrm{196}}{\mathrm{9}}−\mathrm{4}×\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{9}}=\frac{\mathrm{144}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}−\mathrm{b}=\frac{\mathrm{12}\:\:}{\mathrm{3}}\:\:\left(\mathrm{suppose}\:\mathrm{a}\geqslant\mathrm{b}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}},\mathrm{b}=\mathrm{c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{When}\:\mathrm{c}=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{b}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{b}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}_{\mathrm{max}} =\mathrm{80}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if} \\ $$$$\left(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right)=\left(\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{and}\:\mathrm{all} \\ $$$$\mathrm{permutations}\:\mathrm{of}\:\mathrm{them} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Other}}\:\boldsymbol{\mathrm{way}}:\: \\ $$$$\mathrm{S}=\mathrm{3}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3c}\right)+\mathrm{80}\left(\ast\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{27c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{135c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{81c}\right)+\mathrm{80} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left\{\left[\left(\mathrm{3c}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{3c}−\mathrm{13}\right)\right]+\mathrm{13}\right\}+\mathrm{80} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left[\left(\mathrm{3c}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{3c}−\mathrm{13}\right)\right]+\mathrm{80}\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{9}}\: \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{the}\:\mathrm{condition}\:\left(\mathrm{6}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{infer}\: \\ $$$$\mathrm{S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left[\left(\mathrm{3c}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{3c}−\mathrm{13}\right)\right]+\mathrm{80}\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{9}}\:\leqslant\mathrm{80}\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\mathrm{since}\:\left(\mathrm{3c}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{3c}−\mathrm{13}\right)\leqslant\mathrm{0}\:\mathrm{due}\:\mathrm{to}\:\mathrm{3c}\leqslant\mathrm{13} \\ $$
Answered by mr W last updated on 08/Aug/20
$${let}\:{p}_{{n}} =\alpha^{{n}} +\beta^{{n}} +\gamma^{{n}} \\ $$$${p}_{\mathrm{1}} ={e}_{\mathrm{1}} =\mathrm{5} \\ $$$${p}_{\mathrm{2}} =\mathrm{19}={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}} \:\Rightarrow{e}_{\mathrm{2}} =\frac{{p}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −{p}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$${p}_{\mathrm{3}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{2}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{\mathrm{1}} +\mathrm{3}{e}_{\mathrm{3}} \\ $$$$={p}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{2}} −\frac{\left({p}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −{p}_{\mathrm{2}} \right){p}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{e}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow{p}_{\mathrm{3}} =\frac{{p}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}{p}_{\mathrm{2}} −{p}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{e}_{\mathrm{3}} =\mathrm{80}+\mathrm{3}{e}_{\mathrm{3}} \\ $$$${with}\:{e}_{\mathrm{3}} =\alpha\beta\gamma \\ $$$$ \\ $$$$\gamma=\mathrm{5}−\alpha−\beta \\ $$$${e}_{\mathrm{3},{max}/{min}} \:{happens}\:{at}\:\alpha=\beta \\ $$$$\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{5}−\mathrm{2}\alpha\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{19} \\ $$$$\mathrm{3}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}\alpha+\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\alpha=\frac{\mathrm{5}\pm\mathrm{4}}{\mathrm{3}}=\mathrm{3},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\gamma=−\mathrm{1},\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}} \\ $$$${e}_{\mathrm{3},{min}} =\mathrm{3}^{\mathrm{2}} ×\left(−\mathrm{1}\right)=−\mathrm{9} \\ $$$${e}_{\mathrm{3},{max}} =\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} ×\left(\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}}\right)=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{27}} \\ $$$$\Rightarrow{p}_{\mathrm{3},{min}} =\mathrm{80}−\mathrm{27}=\mathrm{53} \\ $$$$\Rightarrow{p}_{\mathrm{3},{max}} =\mathrm{80}+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{9}}=\frac{\mathrm{733}}{\mathrm{9}} \\ $$
Answered by mr W last updated on 08/Aug/20
$${Method}\:\mathrm{2} \\ $$$$\gamma=\mathrm{5}−\alpha−\beta \\ $$$$\alpha^{\mathrm{2}} +\beta^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{5}−\alpha−\beta\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{19}=\mathrm{0} \\ $$$${S}=\alpha^{\mathrm{3}} +\beta^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{5}−\alpha−\beta\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${S}_{{max}} \:{is}\:{at}\:\alpha=\beta \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{5}−\mathrm{2}\alpha\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{19}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\alpha=\beta=\mathrm{3},\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\gamma=−\mathrm{1},\:\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow{S}_{{min}} =\mathrm{2}×\mathrm{3}^{\mathrm{3}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{53} \\ $$$$\Rightarrow{S}_{{max}} =\mathrm{2}×\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{733}}{\mathrm{9}} \\ $$