Question Number 107202 by hgrocks last updated on 09/Aug/20
Answered by EmericGent last updated on 09/Aug/20
![∫_0 ^(1/2) ((ln 1-t)/t) dt = -∫_0 ^(1/2) Σ_(k=1) ^∞ (t^(k-1) /k) dt = -Σ_(k=1) ^∞ (t^k /k^2 )]_0 ^(1/2) = -Σ_(k=1) ^∞ (1/(k^2 2^k )) = -S u = ln(1-t) ⇒ u′ = (1/(t-1)) v′ = (1/t) ⇒ v = ln t ∫_0 ^(1/2) ((ln 1-t)/t) dt = ln(1-t)ln(t)]_0 ^(1/2) +∫_0 ^(1/2) ((ln t)/(1-t)) dt u = 1-t ⇒ -du = dt ∫_0 ^(1/2) ((ln t)/(1-t)) dt = ∫_(1/2) ^1 ((ln(1-u))/u) du = ∫_0 ^1 ((ln(1-t))/t) dt - ∫_0 ^(1/2) ((ln 1-t)/t) dt ⇔∫_0 ^(1/2) ((ln 1-t)/t) dt = ln^2 2 + ∫_0 ^1 ((ln(1-t))/t) dt - ∫_0 ^(1/2) ((ln 1-t)/t) dt ⇔2∫_0 ^(1/2) ((ln 1-t)/t) dt = ln^2 2 + ∫_0 ^1 ((ln(1-t))/t) dt ∫_0 ^1 ((ln(1-t))/t) dt = -∫_0 ^1 Σ_(k=1) ^∞ (t^(k-1) /k) dt = -Σ_(k=1) ^∞ (1/k^2 ) = ((-π^2 )/6) ⇔2∫_0 ^(1/2) ((ln 1-t)/t) dt = ln^2 2 - (π^2 /6) ⇔ -2S = ln^2 2 - (π^2 /6) ⇔ S = (π^2 /(12)) - ((ln^2 2)/2)](https://www.tinkutara.com/question/Q107229.png)
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \:\frac{{ln}\:\mathrm{1}-{t}}{{t}}\:{dt}\:=\:-\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{t}^{{k}-\mathrm{1}} }{{k}}\:{dt} \\ $$$$\left.=\:-\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{t}^{{k}} }{{k}^{\mathrm{2}} }\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \:=\:-\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}^{{k}} }\:=\:-{S} \\ $$$${u}\:=\:{ln}\left(\mathrm{1}-{t}\right)\:\Rightarrow\:{u}'\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{t}-\mathrm{1}} \\ $$$${v}'\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{t}}\:\Rightarrow\:{v}\:=\:{ln}\:{t} \\ $$$$\left.\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \:\frac{{ln}\:\mathrm{1}-{t}}{{t}}\:{dt}\:=\:{ln}\left(\mathrm{1}-{t}\right){ln}\left({t}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} +\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \frac{{ln}\:{t}}{\mathrm{1}-{t}}\:{dt} \\ $$$${u}\:=\:\mathrm{1}-{t}\:\Rightarrow\:-{du}\:=\:{dt} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \frac{{ln}\:{t}}{\mathrm{1}-{t}}\:{dt}\:=\:\int_{\mathrm{1}/\mathrm{2}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}-{u}\right)}{{u}}\:{du} \\ $$$$=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}-{t}\right)}{{t}}\:{dt}\:-\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \:\frac{{ln}\:\mathrm{1}-{t}}{{t}}\:{dt} \\ $$$$\Leftrightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \:\frac{{ln}\:\mathrm{1}-{t}}{{t}}\:{dt}\:=\:{ln}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}\:+\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}-{t}\right)}{{t}}\:{dt}\:-\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \:\frac{{ln}\:\mathrm{1}-{t}}{{t}}\:{dt} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \:\frac{{ln}\:\mathrm{1}-{t}}{{t}}\:{dt}\:=\:{ln}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}\:+\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}-{t}\right)}{{t}}\:{dt} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}-{t}\right)}{{t}}\:{dt}\:=\:-\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{t}^{{k}-\mathrm{1}} }{{k}}\:{dt}\:=\:-\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{-\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \:\frac{{ln}\:\mathrm{1}-{t}}{{t}}\:{dt}\:=\:{ln}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}\:-\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:-\mathrm{2}{S}\:=\:{ln}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}\:-\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:{S}\:=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:-\:\frac{{ln}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by hgrocks last updated on 09/Aug/20
GREAT !! THANKS A LOT ����
Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Aug/20
![S =Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )((1/2))^n ⇒ S =f((1/2))with f(x) = Σ_(n=1) ^∞ (x^n /n^2 ) f^′ (x) =Σ_(n=1) ^∞ (x^(n−1) /n) =(1/x)Σ_(n=1) ^∞ (x^n /n) =−((ln(1−x))/x) ⇒ f(x) =−∫_0 ^x ((ln(1−t))/t)dt +c we have c=f(0) =0 ⇒ f(x) =−∫_0 ^x ((ln(1−t))/t)dt ⇒f((1/2)) =−∫_0 ^(1/2) ((ln(1−t))/t)dt we have by parts ∫_0 ^(1/2) ((ln(1−t))/t) dt =[lntln(1−t)]_0 ^(1/2) −∫_0 ^(1/2) lnt×((−1)/(1−t))dt =ln^2 (2) +∫_0 ^(1/2) ((ln(t))/(1−t))dt we have ∫_0 ^1 ((ln(1−t))/t) dt =∫_0 ^(1/2) ((ln(1−t))/t)dt +∫_(1/2) ^1 ((ln(1−t))/t) dt(→1−t =u) =∫_0 ^(1/2) ((ln(1−t))/t) dt +∫_0 ^(1/2) ((ln(u))/(1−u)) du =−f((1/2)) −f((1/2))−ln^2 (2) =−2f((1/2))−ln^2 (2) ⇒2f((1/2)) =−∫_0 ^1 ((ln(1−t))/t) dt−ln^2 (2) we have ln^′ (1−t) =((−1)/(1−t)) =−Σ_(n=0) ^∞ t^n ⇒ ln(1−t) =−Σ_(n=0) ^∞ (1/(n+1))t^(n+1) +c (c=0) =−Σ_(n=1) ^∞ (t^n /n) ⇒ ((−ln(1−t))/t) =Σ_(n=1) ^∞ (t^(n−1) /n) ⇒∫_0 ^1 ((−ln(1−t))/t)dt =Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 ) =(π^2 /6) ⇒ 2f((1/2)) =(π^2 /6)−ln^2 (2) ⇒ S =f((1/2)) =(π^2 /(12))−((ln^2 2)/2)](https://www.tinkutara.com/question/Q107295.png)
$$\mathrm{S}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\:\mathrm{S}\:=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{with}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:=−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:+\mathrm{c}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{c}=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\:=\left[\mathrm{lntln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \mathrm{lnt}×\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:+\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\left(\rightarrow\mathrm{1}−\mathrm{t}\:=\mathrm{u}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{u}}\:\mathrm{du}\:\:=−\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:−\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$=−\mathrm{2f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\mathrm{2f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}−\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}^{'} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\:=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{c}\:\left(\mathrm{c}=\mathrm{0}\right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{S}\:=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}}{\mathrm{2}} \\ $$