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calculate-i-j-N-i-2-j-2-2-i-j-

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Question Number 46731 by maxmathsup by imad last updated on 30/Oct/18
calculate Σ_((i,j)∈N) ((i^2 +j^2 )/2^(i+j) )
$${calculate}\:\sum_{\left({i},{j}\right)\in{N}} \:\:\frac{{i}^{\mathrm{2}} \:+{j}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}+{j}} } \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 01/Nov/18
S =Σ_(i=0) ^∞ Σ_(j=0) ^∞ (i^2 /(2^i 2^j )) +Σ_(i=0) ^∞ Σ_(j=0) ^∞ (j^2 /(2^i 2^j )) =2Σ_(i=0) ^∞ (i^2 /2^i ).Σ_(j=0) ^∞ (1/2^j ) but Σ_(j=0) ^∞ (1/2^j ) =(1/(1−(1/2))) =2 and Σ_(i=0) ^∞ (i^2 /2^i ) =w((1/2)) with w(x)=Σ_(n=0) ^∞ n^2 x^n let take ∣x∣<1 we have Σ_(n=0) ^∞ x^n =(1/(1−x)) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ nx^(n−1) =(1/((1−x)^2 )) ⇒Σ_(n=1) ^∞ nx^n =(x/((1−x)^2 )) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ n^2 x^(n−1) =(((1−x)^2 −x(−2)(1−x))/((1−x)^4 )) =((1−x+2x)/((1−x)^3 )) =((1+x)/((1−x)^3 )) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ n^2 x^n = ((x+x^2 )/((1−x)^3 )) ⇒ w((1/2)) =(((1/(2 ))+(1/4))/(((1/2))^3 )) =8.(3/4) =6 ⇒ S =2 .6.2 =24 ⇒ ★ S=24★.
$$\:{S}\:=\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\sum_{{j}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{i}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} \:\mathrm{2}^{{j}} }\:+\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\sum_{{j}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{j}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} \:\mathrm{2}^{{j}} } \\ $$$$=\mathrm{2}\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{i}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} }.\sum_{{j}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{j}} }\:\:{but}\:\:\sum_{{j}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{j}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\:=\mathrm{2}\:\:{and}\:\sum_{{i}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{i}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} }\:={w}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:{with} \\ $$$${w}\left({x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{n}^{\mathrm{2}} \:{x}^{{n}} \:\:\:\:{let}\:{take}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1}\:\:{we}\:{have}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{x}^{{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{nx}^{{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{nx}^{{n}} \:=\frac{{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{n}^{\mathrm{2}} \:{x}^{{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} −{x}\left(−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\frac{\mathrm{1}−{x}+\mathrm{2}{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{1}+{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{n}^{\mathrm{2}} {x}^{{n}} \:=\:\frac{{x}+{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\:{w}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\:}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\mathrm{8}.\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:=\mathrm{6}\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=\mathrm{2}\:.\mathrm{6}.\mathrm{2}\:=\mathrm{24}\:\Rightarrow\:\bigstar\:{S}=\mathrm{24}\bigstar. \\ $$$$ \\ $$
Answered by MrW3 last updated on 01/Nov/18
S_n =Σ_(i=0) ^n Σ_(j=0) ^n ((i^2 +j^2 )/2^(i+j) ) ((i^2 +j^2 )/2^(i+j) )=((i^2 +j^2 )/(2^i 2^j ))=(i^2 /2^i )×(1/2^j )+(1/2^i )×(j^2 /2^j ) S_n =Σ_(i=0) ^n Σ_(j=0) ^n ((i^2 +j^2 )/2^(i+j) )=Σ_(i=0) ^n (i^2 /2^i )×Σ_(j=0) ^n (1/2^j )+Σ_(i=0) ^n (1/2^i )×Σ_(j=0) ^n (j^2 /2^j ) ⇒S_n =2Σ_(i=0) ^n (i^2 /2^i )×Σ_(i=0) ^n (1/2^i ) P=Σ_(i=0) ^n (1/2^i )=2(1−(1/2^(n+1) )) Q=Σ_(i=0) ^n (i/2^i )=(1/2)+(2/2^2 )+(3/2^3 )+(4/2^4 )+...+(n/2^n ) 2Q=1+(2/2)+(3/2^2 )+(4/2^3 )+...+(n/2^(n−1) ) 2Q=1+((1+1)/2)+((1+2)/2^2 )+((1+3)/2^3 )+...+((1+n−1)/2^(n−1) ) 2Q=(1+(1/2)+(1/2^2 )+(1/2^3 )+...+(1/2^(n−1) ))+((1/2)+(2/2^2 )+(3/2^3 )+...+((n−1)/2^(n−1) )) 2Q=2(1−(1/2^n ))+((1/2)+(2/2^2 )+(3/2^3 )+...+((n−1)/2^(n−1) )+(n/2^n ))−(n/2^n ) 2Q=2(1−(1/2^n ))+Q−(n/2^n ) ⇒Q=2(1−(1/2^n ))−(n/2^n ) ⇒Q=Σ_(i=0) ^n (i/2^i )=2(1−((n+2)/2^(n+1) )) R=Σ_(i=0) ^n (i^2 /2^i )=Σ_(i=0) ^n ((i^2 −1+1)/2^i )=Σ_(i=0) ^n ((i^2 −1)/2^i )+Σ_(i=0) ^n (1/2^i ) =Σ_(i=0) ^n (((i−1)(i−1+2))/2^i )+Σ_(i=0) ^n (1/2^i ) =Σ_(i=0) ^n (((i−1)^2 )/2^i )+Σ_(i=0) ^n ((2(i−1))/2^i )+Σ_(i=0) ^n (1/2^i ) =Σ_(i=0) ^n (((i−1)^2 )/2^i )+2Σ_(i=0) ^n (i/2^i )−Σ_(i=0) ^n (1/2^i ) =(1/2)Σ_(i=0) ^n (((i−1)^2 )/2^(i−1) )+2Q−P =(1/2)[2+(1/2)+(2^2 /2^2 )+(3^2 /2^3 )+...+(((n−1)^2 )/2^(n−1) )]+2Q−P =1+(1/2)[(1/2)+(2^2 /2^2 )+(3^2 /2^3 )+...+(((n−1)^2 )/2^(n−1) )+(n^2 /2^n )]−(n^2 /2^(n+1) )+2Q−P ⇒R=1+(R/2)−(n^2 /2^(n+1) )+2Q−P ⇒(R/2)=1−(n^2 /2^(n+1) )+2×2(1−((n+2)/2^(n+1) ))−2(1−(1/2^(n+1) )) ⇒(R/2)=3−((n^2 +4n+6)/2^(n+1) ) ⇒R=Σ_(i=0) ^n (i^2 /2^i )=2(3−((n^2 +4n+6)/2^(n+1) )) ⇒S_n =2Σ_(i=0) ^n (i^2 /2^i )×Σ_(i=0) ^n (1/2^i )=2RP=2×2(3−((n^2 +4n+6)/2^(n+1) ))×2(1−(1/2^(n+1) )) ⇒S_n =8(3−((n^2 +4n+6)/2^(n+1) ))(1−(1/2^(n+1) )) lim_(n→∞) S_n =24
$${S}_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{2}} +{j}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}+{j}} } \\ $$$$\frac{{i}^{\mathrm{2}} +{j}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}+{j}} }=\frac{{i}^{\mathrm{2}} +{j}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} \mathrm{2}^{{j}} }=\frac{{i}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} }×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{j}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }×\frac{{j}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{j}} } \\ $$$${S}_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{2}} +{j}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}+{j}} }=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} }×\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{j}} }+\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }×\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{j}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{j}} } \\ $$$$\Rightarrow{S}_{{n}} =\mathrm{2}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} }×\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} } \\ $$$${P}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$${Q}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2}^{\mathrm{4}} }+…+\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\mathrm{2}{Q}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{2}{Q}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{\mathrm{1}+{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{2}{Q}=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\mathrm{2}{Q}=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }+\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)−\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\mathrm{2}{Q}=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)+{Q}−\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\Rightarrow{Q}=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)−\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\Rightarrow{Q}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} }=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{{n}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$${R}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} }=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }+\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} } \\ $$$$=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({i}−\mathrm{1}\right)\left({i}−\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}^{{i}} }+\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} } \\ $$$$=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({i}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} }+\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}\left({i}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}^{{i}} }+\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} } \\ $$$$=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({i}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} }+\mathrm{2}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} }−\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({i}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}−\mathrm{1}} }+\mathrm{2}{Q}−{P} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\right]+\mathrm{2}{Q}−{P} \\ $$$$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…+\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }+\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{n}} }\right]−\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }+\mathrm{2}{Q}−{P} \\ $$$$\Rightarrow{R}=\mathrm{1}+\frac{{R}}{\mathrm{2}}−\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }+\mathrm{2}{Q}−{P} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{R}}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}−\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }+\mathrm{2}×\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{{n}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{{R}}{\mathrm{2}}=\mathrm{3}−\frac{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{n}+\mathrm{6}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\Rightarrow{R}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} }=\mathrm{2}\left(\mathrm{3}−\frac{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{n}+\mathrm{6}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\Rightarrow{S}_{{n}} =\mathrm{2}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} }×\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }=\mathrm{2}{RP}=\mathrm{2}×\mathrm{2}\left(\mathrm{3}−\frac{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{n}+\mathrm{6}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right)×\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\Rightarrow{S}_{{n}} =\mathrm{8}\left(\mathrm{3}−\frac{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{n}+\mathrm{6}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{S}_{{n}} =\mathrm{24} \\ $$
Commented by prof Abdo imad last updated on 31/Oct/18
thnk you sir.
$${thnk}\:{you}\:{sir}. \\ $$
Commented by behi83417@gmail.com last updated on 01/Nov/18
sir mrW3! you are always the best.
$${sir}\:{mrW}\mathrm{3}!\:{you}\:{are}\:{always}\:{the}\:{best}. \\ $$
Commented by MrW3 last updated on 01/Nov/18
thank you too sirs! I am thinking about how to calculate Σ(i^3 /2^i ) Σ(i^4 /2^i ) etc. any idea? my try is to use the same method as above, e.g. i^3 −(i−1)^3 =3i^2 −3i+1 ⇒i^3 =(i−1)^3 +3i^2 −3i+1
$${thank}\:{you}\:{too}\:{sirs}! \\ $$$${I}\:{am}\:{thinking}\:{about}\:{how}\:{to}\:{calculate} \\ $$$$\Sigma\frac{{i}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{i}} } \\ $$$$\Sigma\frac{{i}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2}^{{i}} } \\ $$$${etc}. \\ $$$${any}\:{idea}? \\ $$$${my}\:{try}\:{is}\:{to}\:{use}\:{the}\:{same}\:{method}\:{as}\:{above},\:{e}.{g}. \\ $$$${i}^{\mathrm{3}} −\left({i}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}{i}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{i}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{i}^{\mathrm{3}} =\left({i}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{i}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{i}+\mathrm{1} \\ $$
Commented by MrW3 last updated on 01/Nov/18
let S_n =Σ_(i=0) ^n Σ_(j=0) ^n ((i^3 +j^3 )/2^(i+j) )=2Σ_(i=0) ^n (i^3 /2^i )Σ_(i=0) ^n (1/2^i ) we have already: P=Σ_(i=0) ^n (1/2^i )=2(1−(1/2^(n+1) )) Q=Σ_(i=0) ^n (i/2^i )=2(1−((n+2)/2^(n+1) )) R=Σ_(i=0) ^n (i^2 /2^i )=2(3−((n^2 +4n+6)/2^(n+1) )) let T=Σ_(i=0) ^n (i^3 /2^i ) since i^3 =(i−1)^3 +3i^2 −3i+1 T=Σ_(i=0) ^n (((i−1)^3 +3i^2 −3i+1)/2^i ) T=Σ_(i=0) ^n (((i−1)^3 )/2^i )+3R−3Q+P T=(1/2)Σ_(i=0) ^n (((i−1)^3 )/2^(i−1) )+3R−3Q+P T=(1/2)(−2)+(1/2)Σ_(i=1) ^n (((i−1)^3 )/2^(i−1) )+3R−3Q+P T=−1+(1/2)Σ_(i=0) ^(n−1) (i^3 /2^i )+3R−3Q+P T=−1+(1/2)Σ_(i=0) ^n (i^3 /2^i )−(1/2)×(n^3 /2^n )+3R−3Q+P T=−1+(1/2)T−(1/2)×(n^3 /2^n )+3R−3Q+P (T/2)=−1−(1/2)×(n^3 /2^n )+3R−3Q+P ⇒T=−2−(n^3 /2^n )+6R−6Q+2P ⇒T=−2−(n^3 /2^n )+12(3−((n^2 +4n+6)/2^(n+1) ))−12(1−((n+2)/2^(n+1) ))+4(1−(1/2^(n+1) )) ⇒T=−2−2×(n^3 /2^(n+1) )+36−12×((n^2 +4n+6)/2^(n+1) )−12+12×((n+2)/2^(n+1) )+4−4×(1/2^(n+1) ) ⇒T=26−((2n^3 +12(n^2 +4n+6−n−2)+4)/2^(n+1) ) ⇒T=Σ_(i=0) ^n (i^3 /2^i )=2(13−((n^3 +6n^2 +18n+26)/2^(n+1) )) S_n =Σ_(i=0) ^n Σ_(j=0) ^n ((i^3 +j^3 )/2^(i+j) )=2Σ_(i=0) ^n (i^3 /2^i )Σ_(i=0) ^n (1/2^i )=2TP =2×2(13−((n^3 +6n^2 +18n+26)/2^(n+1) ))2(1−(1/2^(n+1) )) ⇒S_n =8(13−((n^3 +6n^2 +18n+26)/2^(n+1) ))(1−(1/2^(n+1) )) lim_(n→∞) S_n =8×13=104
$${let}\:{S}_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{3}} +{j}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{i}+{j}} }=\mathrm{2}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{i}} }\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} } \\ $$$${we}\:{have}\:{already}: \\ $$$${P}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$${Q}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}}{\mathrm{2}^{{i}} }=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{{n}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$${R}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{{i}} }=\mathrm{2}\left(\mathrm{3}−\frac{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{n}+\mathrm{6}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$${let}\:{T}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{i}} } \\ $$$${since}\:{i}^{\mathrm{3}} =\left({i}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{i}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{i}+\mathrm{1} \\ $$$${T}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({i}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{i}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{i}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} } \\ $$$${T}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({i}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{i}} }+\mathrm{3}{R}−\mathrm{3}{Q}+{P} \\ $$$${T}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({i}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{i}−\mathrm{1}} }+\mathrm{3}{R}−\mathrm{3}{Q}+{P} \\ $$$${T}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left({i}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{i}−\mathrm{1}} }+\mathrm{3}{R}−\mathrm{3}{Q}+{P} \\ $$$${T}=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{i}} }+\mathrm{3}{R}−\mathrm{3}{Q}+{P} \\ $$$${T}=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{i}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{n}} }+\mathrm{3}{R}−\mathrm{3}{Q}+{P} \\ $$$${T}=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{T}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{n}} }+\mathrm{3}{R}−\mathrm{3}{Q}+{P} \\ $$$$\frac{{T}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{n}} }+\mathrm{3}{R}−\mathrm{3}{Q}+{P} \\ $$$$\Rightarrow{T}=−\mathrm{2}−\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{n}} }+\mathrm{6}{R}−\mathrm{6}{Q}+\mathrm{2}{P} \\ $$$$\Rightarrow{T}=−\mathrm{2}−\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{n}} }+\mathrm{12}\left(\mathrm{3}−\frac{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{n}+\mathrm{6}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right)−\mathrm{12}\left(\mathrm{1}−\frac{{n}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right)+\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\Rightarrow{T}=−\mathrm{2}−\mathrm{2}×\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }+\mathrm{36}−\mathrm{12}×\frac{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{n}+\mathrm{6}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }−\mathrm{12}+\mathrm{12}×\frac{{n}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }+\mathrm{4}−\mathrm{4}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\Rightarrow{T}=\mathrm{26}−\frac{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{12}\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{n}+\mathrm{6}−{n}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{4}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\Rightarrow{T}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{i}} }=\mathrm{2}\left(\mathrm{13}−\frac{{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{18}{n}+\mathrm{26}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$ \\ $$$${S}_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{3}} +{j}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{i}+{j}} }=\mathrm{2}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{i}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{i}} }\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{i}} }=\mathrm{2}{TP} \\ $$$$=\mathrm{2}×\mathrm{2}\left(\mathrm{13}−\frac{{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{18}{n}+\mathrm{26}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right)\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\Rightarrow{S}_{{n}} =\mathrm{8}\left(\mathrm{13}−\frac{{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{18}{n}+\mathrm{26}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{S}_{{n}} =\mathrm{8}×\mathrm{13}=\mathrm{104} \\ $$

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