Question Number 116930 by bobhans last updated on 08/Oct/20
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \:\mathrm{find}\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{by}\:\mathrm{using}\:\mathrm{limit} \\ $$$$\left(\mathrm{first}\:\mathrm{principal}\:\mathrm{derivative}\right) \\ $$
Commented by bobhans last updated on 08/Oct/20
Answered by 1549442205PVT last updated on 09/Oct/20
![First,we prove that lim _(x→0) ((a^x −1)/x)=lna. by using the definition of limit We can assume x>0(if x<0 put x=−t) Suppose ε>0 be an arbitrarily small number so that ∣((a^x −1)/x)−lna∣<ε.Then choosing δ=((ln[(−εx+xlna+1)^(−1) ])/(lna))>0 we have ∣x∣<δ⇔−((ln[(−εx+xlna+1)^(−1) ])/(lna))<x<((ln[(−εx+xlna+1)^(−1) ])/(lna)) ⇒−ln[(−εx+xlna+1)^(−1) ]<xlna<ln[(−εx+xlna+1)^(−1) ] ⇒ln(−εx+xlna+1)<lna^x <ln[(−εx+xlna+1)^(−1) ] ⇒−εx+xlna+1<a^x <(−εx+xlna+1)^(−1) ⇒−εx<a^x −1−xlna<εx (Since (−εx+xlna+1)^(−1) =(1/(−εx+xlna+1)) <−εx+xlna+1<εx+xlna+1) ⇒−ε<((a^x −1−xlna)/x)<ε⇒∣((a^x −1)/x)−lna∣<ε By the definition of the limit of a function we have: lim_(x→0) ((a^x −1)/x)=lna (Q.E.D)(1) Now by the definition of derivative of a function we have f ′(x)=lim{[f(x+Δx)−f(x)]/Δx}.Hence, (5^(√x) )′=lim_(Δu→0) ((5^(√(x+Δx)) −5^(√x) )/( Δx)) =lim_(Δx→0) ((5^(√x) (5^((√(x+Δx))−(√x)) −1))/( ((√(x+Δx))−(√x)).((Δx)/( (√(x+Δx))−(√x))))) =lim((5^(√x) (5^((√(x+Δx))−(√x)) −1))/( ((√(x+Δx))−(√x)).((Δx((√(x+Δx))+(√x)))/( (√(x+Δx))−(√x))((√(x+Δx))+(√x)))))) =lim((5^(√x) (5^((√(x+Δx))−(√x)) −1))/( ((√(x+Δx))−(√x)).((Δx((√(x+Δx))+(√x)))/( Δx)))) =lim_(Δx→0) (((5^(√x) (5^((√(x+Δx))−(√x)) −1))/( ((√(x+Δx))−(√x)).))).lim_(Δx→0) (1/( (√(x+Δx))+(√x))) =5^(√x) ln5.(1/(2(√x))) since lim_(Δx→0) (((5^((√(x+Δx))−(√x)) −1))/( ((√(x+Δx))−(√x)).))=ln5(by (1)) Thus,finally we obtained (a^(√x) )′=((5^(√x) ln5)/(2(√x))) is proved by limit](https://www.tinkutara.com/question/Q116932.png)
$$\mathrm{First},\mathrm{we}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}\:}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{lna}. \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{using}\:\mathrm{the}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{of}\:\mathrm{limit} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{can}\:\mathrm{assume}\:\mathrm{x}>\mathrm{0}\left(\mathrm{if}\:\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\mathrm{put}\:\mathrm{x}=−\mathrm{t}\right) \\ $$$$\mathrm{Suppose}\:\epsilon>\mathrm{0}\:\mathrm{be}\:\mathrm{an}\:\mathrm{arbitrarily}\:\mathrm{small}\:\mathrm{number} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{that}\:\mid\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\mathrm{lna}\mid<\epsilon.\mathrm{Then}\:\mathrm{choosing} \\ $$$$\:\:\delta=\frac{\mathrm{ln}\left[\left(−\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{1}} \right]}{\mathrm{lna}}>\mathrm{0}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mid\mathrm{x}\mid<\delta\Leftrightarrow−\frac{\mathrm{ln}\left[\left(−\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{1}} \right]}{\mathrm{lna}}<\mathrm{x}<\frac{\mathrm{ln}\left[\left(−\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{1}} \right]}{\mathrm{lna}} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{ln}\left[\left(−\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{1}} \right]<\mathrm{xlna}<\mathrm{ln}\left[\left(−\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{1}} \right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\left(−\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}\right)<\mathrm{lna}^{\mathrm{x}} <\mathrm{ln}\left[\left(−\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{1}} \right] \\ $$$$\Rightarrow−\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}<\mathrm{a}^{\mathrm{x}} <\left(−\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow−\epsilon\mathrm{x}<\mathrm{a}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}−\mathrm{xlna}<\epsilon\mathrm{x} \\ $$$$\left(\mathrm{Since}\:\left(−\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{−\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}}\right. \\ $$$$\left.<−\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}<\epsilon\mathrm{x}+\mathrm{xlna}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow−\epsilon<\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}−\mathrm{xlna}}{\mathrm{x}}<\epsilon\Rightarrow\mid\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\mathrm{lna}\mid<\epsilon \\ $$$$\mathrm{By}\:\mathrm{the}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{limit}\:\:\mathrm{of}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{function}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}: \\ $$$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{lna}\:\left(\boldsymbol{\mathrm{Q}}.\boldsymbol{\mathrm{E}}.\boldsymbol{\mathrm{D}}\right)\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mathrm{by}\:\mathrm{the}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{of}\:\mathrm{derivative}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{function}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{lim}\left\{\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]/\Delta\mathrm{x}\right\}.\mathrm{Hence}, \\ $$$$\left(\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \:\:\right)'=\underset{\Delta\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}} \:−\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \:\:}{\:\Delta\mathrm{x}} \\ $$$$\underset{\Delta\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {=\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \left(\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}} −\mathrm{1}\right)}{\:\left(\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}\right).\frac{\Delta\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}}} \\ $$$$=\mathrm{lim}\frac{\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \left(\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}} −\mathrm{1}\right)}{\:\left(\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}\right).\frac{\Delta\mathrm{x}\left(\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}}\right)}{\left.\:\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}}\right)}} \\ $$$$=\mathrm{lim}\frac{\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \left(\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}} −\mathrm{1}\right)}{\:\left(\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}\right).\frac{\Delta\mathrm{x}\left(\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}}\right)}{\:\Delta\mathrm{x}}} \\ $$$$=\underset{\Delta\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \left(\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}} −\mathrm{1}\right)}{\:\left(\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}\right).}\right).\underset{\Delta\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}}} \\ $$$$=\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \mathrm{ln5}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}}\: \\ $$$$\mathrm{since}\underset{\Delta\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\:\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}} −\mathrm{1}\right)}{\:\left(\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{x}}\right).}=\mathrm{ln5}\left(\mathrm{by}\:\left(\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{finally}\:\mathrm{we}\:\mathrm{obtained}\: \\ $$$$\left(\mathrm{a}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \right)'=\frac{\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \mathrm{ln5}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{proved}\:\mathrm{by}\:\mathrm{limit} \\ $$
Commented by bemath last updated on 08/Oct/20
$$\mathrm{sir}\:\mathrm{why}\:\mathrm{not}\:\frac{\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}}} }{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}}\:.\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{5}\right)\:? \\ $$
Commented by bemath last updated on 08/Oct/20
$$\left(\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}} \:−\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \:\right)×\left(\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}}} \:+\mathrm{5}^{\sqrt{\mathrm{x}}} \right) \\ $$$$\neq\:\mathrm{5}^{\mathrm{x}+\Delta\mathrm{x}} \:−\:\mathrm{5}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by bobhans last updated on 08/Oct/20
$$\mathrm{sir}\:\mathrm{pvt},\:\mathrm{your}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{not}\:\mathrm{correct}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 08/Oct/20
$$\mathrm{I}\:\mathrm{had}\:\mathrm{a}\:\mathrm{mistake}\:\mathrm{and}\:\mathrm{i}\:\mathrm{am}\:\mathrm{correcting}\:\mathrm{it}\: \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{now}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{corrected}\:\:\mathrm{completely} \\ $$$$\mathrm{Please},\mathrm{check}\:\mathrm{help}\:\mathrm{me}.\mathrm{Thank}\:\mathrm{Sir} \\ $$
Commented by bemath last updated on 08/Oct/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$
Commented by bobhans last updated on 08/Oct/20
$$\mathrm{sir}\:\mathrm{pvt},\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 09/Oct/20
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{Sir}.\mathrm{You}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}. \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 08/Oct/20
![(dy/dx)=lim_(h→0) ((5^((√(x+h)) ) −5^(√x) )/h) =lim_(h→0) 5^((√x) ) ×(((5^((√(x+h)) −(√x) ) −1)/h)) =5^((√x) ) ×lim_(t→0) (((5^t −1)/t))×lim_(h→0) ((((√(x+h)) −(√x) )/h))[t=(√(x+h)) −(√x) ] =5^((√x) ) ×lim_(t→0) (((e^(tln5) −1)/(tln5)))×ln5×lim_(h→0) ((h/h)×(1/( (√(x+h)) +(√x)))) =5^((√x) ) ×1×ln5×(1/(2(√x)))=5^((√x) ) ×ln5×(1/(2(√x)))](https://www.tinkutara.com/question/Q116943.png)
$$\frac{{dy}}{{dx}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{5}^{\sqrt{{x}+{h}}\:} −\mathrm{5}^{\sqrt{{x}}} }{{h}} \\ $$$$=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{5}^{\sqrt{{x}}\:} ×\left(\frac{\mathrm{5}^{\sqrt{{x}+{h}}\:−\sqrt{{x}}\:} −\mathrm{1}}{{h}}\right) \\ $$$$=\mathrm{5}^{\sqrt{{x}}\:} ×\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{5}^{{t}} −\mathrm{1}}{{t}}\right)×\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\sqrt{{x}+{h}}\:−\sqrt{{x}}\:}{{h}}\right)\left[{t}=\sqrt{{x}+{h}}\:−\sqrt{{x}}\:\right] \\ $$$$=\mathrm{5}^{\sqrt{{x}}\:} ×\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{{e}^{{tln}\mathrm{5}} −\mathrm{1}}{{tln}\mathrm{5}}\right)×{ln}\mathrm{5}×\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{{h}}{{h}}×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}+{h}}\:+\sqrt{{x}}}\right) \\ $$$$=\mathrm{5}^{\sqrt{{x}}\:} ×\mathrm{1}×{ln}\mathrm{5}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}=\mathrm{5}^{\sqrt{{x}}\:} ×{ln}\mathrm{5}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}} \\ $$