prove-that-lim-n-k-1-n-n-2-n-6-k-1-

Question Number 192274 by York12 last updated on 13/May/23

prove that lim_(n→∞) (Σ_(k=1) ^n (n^2 /( (√(n^6 +k)))))=1

$${prove}\:{that}\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +{k}}}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Answered by aleks041103 last updated on 14/May/23

Σ_(k=1) ^n (n^2 /( (√(n^6 +n))))<Σ_(k=1) ^n (n^2 /( (√(n^6 +k))))<Σ_(k=1) ^n (n^2 /( (√(n^6 +0)))) (n^3 /( n^3 (√(1+n^(−5) ))))<Σ_(k=1) ^n (n^2 /( (√(n^6 +k))))<(n^3 /n^3 ) ⇒(1/( (√(1+(1/n^5 )))))<Σ_(k=1) ^n (n^2 /( (√(n^6 +k))))<1 ⇒lim_(n→∞) (1/( (√(1+(1/n^5 )))))≤lim_(n→∞) (Σ_(k=1) ^n (n^2 /( (√(n^6 +k)))))≤1 ⇒1≤lim_(n→∞) (Σ_(k=1) ^n (n^2 /( (√(n^6 +k)))))≤1 ⇒lim_(n→∞) (Σ_(k=1) ^n (n^2 /( (√(n^6 +k)))))=1

$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +{n}}}<\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +{k}}}<\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +\mathrm{0}}} \\ $$$$\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\:{n}^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{1}+{n}^{−\mathrm{5}} }}<\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +{k}}}<\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{{n}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{5}} }}}<\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +{k}}}<\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}\rightarrow\infty} {{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{5}} }}}\leqslant\underset{{n}\rightarrow\infty} {{lim}}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +{k}}}\right)\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}\leqslant\underset{{n}\rightarrow\infty} {{lim}}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +{k}}}\right)\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}\rightarrow\infty} {{lim}}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +{k}}}\right)=\mathrm{1} \\ $$

Commented by York12 last updated on 14/May/23

lim_(n→∞) [Σ_(k=1 ) ^n ((n^2 /( (√(n^6 +k)))))]=lim_(n→∞) [n^2 Σ_(k=1) ^n ((1/( (√(n^6 +k)))))]→[I] Let T_k =(1/( (√(n^6 +k)))) ⇛ k=(1/T_k )−n^6 I = lim_(n→∞) [n^2 Σ_(k=1) ^n ((1/( (√(n^6 +k)))))] Σ_(k=1) ^n ((1/( (√(n^6 +(√(n^6 +(√(n^6 +(√(n^6 +...))))))))))) = lim_(n→∞) [n^2 Σ_(k=1) ^n ((2/(1+(√(1+4n^6 )))))]=lim_(n→∞) [((2n^3 )/(1+(√(1+4n^6 ))))] = (2/( (√4)))=1 → ( That′s it ) (BY YORK)

$$ \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}\:} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +{k}}}\right)\right]=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[{n}^{\mathrm{2}} \underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +{k}}}\right)\right]\rightarrow\left[\boldsymbol{{I}}\right] \\ $$$${Let}\:{T}_{{k}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +{k}}}\:\:\:\Rrightarrow\:\:{k}=\frac{\mathrm{1}}{{T}_{{k}} }−{n}^{\mathrm{6}} \\ $$$$\boldsymbol{{I}}\:=\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[{n}^{\mathrm{2}} \underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +{k}}}\right)\right] \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +\sqrt{{n}^{\mathrm{6}} +…}}}}}\right) \\ $$$$=\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[{n}^{\mathrm{2}} \underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{4}{n}^{\mathrm{6}} }}\right)\right]=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\frac{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{4}{n}^{\mathrm{6}} }}\right] \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{4}}}=\mathrm{1}\:\rightarrow\:\left(\:{That}'{s}\:{it}\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathscr{BY}\:{YORK}\right) \\ $$

Commented by York12 last updated on 14/May/23

actully I am a high school student in grade 10 and Iwas wondering where can I learn that I hope if you can help me out with that

$${actully}\:{I}\:{am}\:{a}\:{high}\:{school}\:{student}\:{in}\:{grade}\: \\ $$$$\mathrm{10}\:{and}\:{Iwas}\:{wondering}\:{where}\:{can}\:{I}\:{learn}\:{that} \\ $$$${I}\:{hope}\:{if}\:{you}\:{can}\:{help}\:{me}\:{out}\:{with}\:{that} \\ $$

Commented by York12 last updated on 14/May/23