Question Number 212415 by MrGaster last updated on 13/Oct/24
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{\frac{{k}}{{n}}} }{{n}+\frac{\mathrm{1}}{{k}}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by Frix last updated on 13/Oct/24
![(2^(k/n) /(n+(1/k)))=(2^(k/n) /n)−(2^(k/n) /(n(kn+1))) (1/n)Σ_(k=1) ^n 2^(k/n) =(2^(1/n) /(n(2^(1/n) −1))) lim_(n→∞) (2^(1/n) /(n(2^(1/n) −1))) =(1/(ln 2)) lim_(n→∞) −(1/n)Σ_(k=1) ^n (2^(k/n) /(kn+1)) =0 [Sorry no time to prove it] ⇒ lim_(n→∞) Σ_(k=1) ^n (2^(k/n) /(n+(1/k))) =(1/(ln 2))](https://www.tinkutara.com/question/Q212440.png)
$$\frac{\mathrm{2}^{\frac{{k}}{{n}}} }{{n}+\frac{\mathrm{1}}{{k}}}=\frac{\mathrm{2}^{\frac{{k}}{{n}}} }{{n}}−\frac{\mathrm{2}^{\frac{{k}}{{n}}} }{{n}\left({kn}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\mathrm{2}^{\frac{{k}}{{n}}} \:=\frac{\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} }{{n}\left(\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} −\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} }{{n}\left(\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} −\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{2}^{\frac{{k}}{{n}}} }{{kn}+\mathrm{1}}\:=\mathrm{0}\:\left[\mathrm{Sorry}\:\mathrm{no}\:\mathrm{time}\:\mathrm{to}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{it}\right] \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{2}^{\frac{{k}}{{n}}} }{{n}+\frac{\mathrm{1}}{{k}}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} \\ $$